Determine os valores de
para que os sistemas abaixo admitam: (i) uma única solução; (ii) mais de uma solução; (iii) nenhuma solução.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem um sistema linear com três equações e três incógnitas
e quer saber, para quais valores de
kinR esse sistema tem
(i) uma única solução;
(ii) mais de uma solução (infinitas soluções);
(iii) nenhuma solução.
(i) uma única solução;
(ii) mais de uma solução (infinitas soluções);
(iii) nenhuma solução.
Conteúdo: sistemas lineares, determinante de matriz, condição de existência e unicidade de solução (teorema de Rouché–Capelli).
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Cálculo do determinante da matriz de coeficientes para ver quando o sistema é singular ou não.
- Teorema de Rouché–Capelli para casos singulares (determinante zero): comparar posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada.
Passo 2
Primeiro, monta a matriz de coeficientes
e calcula o determinante
det(A) . Lembre-se que, pra uma matriz
3times3 ,
Agora, cada menor:
Então
Passo 3
Teorema básico:
- Se
, o sistema tem exatamente uma solução.det(A)neq0 - Se
, pode ter nenhuma ou infinitas soluções — aí precisa ver compatibilidade.det(A)=0
Daí,
det(A)=k-1 . Logo:
Portanto, para todo
kneq1 o sistema tem uma única solução.
Passo 4
Agora, o caso singular: [k=1).
- A matriz de coeficientes fica singular (
). - Vamos verificar se o sistema é compatível ou não.
Substituindo
nas equações, o sistema vira
Para testar compatibilidade, a gente resolve as duas primeiras e vê se satisfaz a terceira:
- Da primeira: (x = 2 - y - z].
- Pega a segunda e substitui:
- Daí
. Coloca em .
Então as duas primeiras geram a família de soluções
.
Agora testa na terceira equação:
Agora testa na terceira equação:
Mas a equação exige que isso dê
. Como
, é impossível.
Logo, para o sistema é incompatível: nenhuma solução.
Logo, para
Resposta
(i) Uma única solução para todos os
kneq1 .
(ii) Nenhum valor dek faz o sistema ter infinitas soluções.
(iii) Nenhuma solução exatamente parak=1 .
(ii) Nenhum valor de
(iii) Nenhuma solução exatamente para