Determine os valores de k in R para que os sistemas abaixo admitam: (i) uma única solução; (ii) mais de uma solução; (iii) nenhuma solução.
x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y+z & =1

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem um sistema linear com três equações e três incógnitas
x + y + k,z = 2, 3x + 4y + 2z = k, 2x + 3y + z = 1,
e quer saber, para quais valores de kinR esse sistema tem
(i) uma única solução;
(ii) mais de uma solução (infinitas soluções);
(iii) nenhuma solução.
Conteúdo: sistemas lineares, determinante de matriz, condição de existência e unicidade de solução (teorema de Rouché–Capelli).
O que vamos usar:
  • Cálculo do determinante da matriz de coeficientes para ver quando o sistema é singular ou não.
  • Teorema de Rouché–Capelli para casos singulares (determinante zero): comparar posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada.

Passo 2

Primeiro, monta a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & 1
e calcula o determinante det(A). Lembre-se que, pra uma matriz 3times3,
det(A) =1cdotdet!4&23&1 -1cdotdet!3&22&1 +kcdotdet!3&42&3
Agora, cada menor:
det4&23&1=4cdot1-3cdot2=-2, det3&22&1=3cdot1-2cdot2=-1,
det3&42&3=3cdot3-4cdot2=9-8=1
Então
det(A) = 1cdot(-2)-1cdot(-1)+kcdot1 = -2+1+k = k-1

Passo 3

Teorema básico:
  • Se det(A)neq0, o sistema tem exatamente uma solução.
  • Se det(A)=0, pode ter nenhuma ou infinitas soluções — aí precisa ver compatibilidade.
Daí, det(A)=k-1. Logo:
det(A)neq0 Leftrightarrow k-1neq0Leftrightarrow kneq1
Portanto, para todo kneq1 o sistema tem uma única solução.

Passo 4

Agora, o caso singular: [k=1).
  • A matriz de coeficientes fica singular ( ).
  • Vamos verificar se o sistema é compatível ou não.
Substituindo nas equações, o sistema vira
Para testar compatibilidade, a gente resolve as duas primeiras e vê se satisfaz a terceira:
  1. Da primeira: (x = 2 - y - z].
  2. Pega a segunda e substitui:
  1. Daí . Coloca em .
Então as duas primeiras geram a família de soluções
.
Agora testa na terceira equação:
Mas a equação exige que isso dê . Como , é impossível.
Logo, para o sistema é incompatível: nenhuma solução.

Resposta

(i) Uma única solução para todos os kneq1.
(ii) Nenhum valor de k faz o sistema ter infinitas soluções.
(iii) Nenhuma solução exatamente para k=1.

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