Seja f: R R uma função tal que |f(x)-f(y)|=|x-y| para quaisquer x, y in R.
(i) Pondo f(0)=a, defina a função g: R R assim: g(x)=f(x)-a. Prove então que |g(x)|=|x| para todo x in R. Em particular, g(1)=1 ou g(1)=-1. Também (g(x))^2=x^2.
(ii) Use a identidade x y=12[x^2+y^2-(x-y)^2] para mostrar que x y=g(x) cdot g(y).
(iii) Se g(1)=1, mostre que g(x)=x para todo x in R. Se g(1)=-1, mostre que g(x)=-x para todo x in R.
(iv) Conclua que f(x)=x+a para todo x in R ou então f(x)=-x+a para todo x in R.

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR tal que
lvert f(x)-f(y)rvert = lvert x-yrvert
para todos x,y. Colocamos a = f(0) e definimos
g(x) = f(x) - a
Com isso, o que precisamos mostrar em sequência é: primeiramente que lvert g(x)rvert = lvert xrvert (em particular g(1)=pm1 e (g(x))^2=x^2); depois que g(x),g(y)=x,y; daí concluir que g(x)=x ou g(x)=-x; e por fim voltar a f para obter sua forma explícita.

Passo 2

Para todo xinR,
lvert g(x)rvert = lvert f(x)-arvert = lvert f(x)-f(0)rvert = lvert x-0rvert = lvert xrvert
Logo lvert g(x)rvert=lvert xrvert. Em particular, tomando x=1 vem lvert g(1)rvert=1, isto é, g(1)=1 ou g(1)=-1. Elevando ao quadrado segue
l(g(x)r)^2 = x^2

Passo 3

Usamos a identidade
x,y ;=;12l(x^2 + y^2 - (x-y)^2r)
Então
g(x),g(y) = 12l((g(x))^2 + (g(y))^2 - (g(x)-g(y))^2r)
Mas (g(x))^2=x^2, (g(y))^2=y^2 e
(g(x)-g(y))^2 = l(f(x)-f(y)r)^2 = (x-y)^2,
logo g(x),g(y)=x,y.

Passo 4

Em g(x),g(y)=x,y, faça y=1. Obtemos
g(x),g(1) = xcdot1 = x,
ou seja
g(x) = xg(1)
Como g(1)=pm1, daí segue que g(x)=x se g(1)=1 e g(x)=-x se g(1)=-1.

Resposta

f(x)=x+a para todo xinR
ou
f(x)=-x+a para todo xinR.

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