Seja
uma função tal que
para quaisquer
.
(i) Pondo
, defina a função
assim:
. Prove então que
para todo
. Em particular,
ou
. Também
.
(ii) Use a identidade
para mostrar que
.
(iii) Se
, mostre que
para todo
. Se
, mostre que
para todo
.
(iv) Conclua que
para todo
ou então
para todo
.
(i) Pondo
(ii) Use a identidade
(iii) Se
(iv) Conclua que
Passo 1
O enunciado define uma função
tal que
para todos
. Colocamos
e definimos
Com isso, o que precisamos mostrar em sequência é: primeiramente que
(em particular
e
); depois que
; daí concluir que
ou
; e por fim voltar a
para obter sua forma explícita.
Passo 2
Para todo
,
Logo
. Em particular, tomando
vem
, isto é,
ou
. Elevando ao quadrado segue
Passo 3
Usamos a identidade
Então
Mas
,
e
logo
.
Passo 4
Em
, faça
. Obtemos
ou seja
Como
, daí segue que
se
e
se
.
Resposta
ou