Um círculo C de centro A e raio r>0 divide o plano em três subconjuntos disjuntos:
  • o conjunto dos pontos do próprio círculo C: P in C Long<=ftrightarrow d(A, P)=r;
  • o conjunto I dos pontos interiores a C: P in I Long<=ftrightarrow d(A, P)<r;
  • o conjunto E dos pontos exteriores a C: P in E Long<=ftrightarrow d(A, P)>r
    (a) Determine se os pontos P=(1,1), Q=(-3,2), R=(-2,-2), S=(4,-2) pertencem ao círculo C1: x^2+y^2-4 x+2 y=8, ao seu interior ou ao seu exterior.
    (b) Determine se o círculo C2: x^2-x+y^2-1=0 intersecta o círculo C1. Caso negativo, decida se C2 está contido no interior ou no exterior de C1.

Passo 1

O enunciado pede:
  1. Classificar os pontos P=(1,1), Q=(-3,2), R=(-2,-2), S=(4,-2) em relação ao círculo
C1: x^2+y^2-4x+2y=8;
  1. Verificar se o círculo
C2: x^2-x+y^2-1=0
intersecta C1, e em caso negativo dizer se C2 está totalmente no interior ou no exterior de C1.
Para isso vamos reescrever cada equação na forma centrada ,(x-Ax)^2+(y-Ay)^2=r^2, calcular centros, raios e distâncias.

Passo 2

Reescrevendo C1:
x^2-4x+y^2+2y=8
completamos o quadrado em x e em y:
(x-2)^2-4;+;(y+1)^2-1=8
logo
(x-2)^2+(y+1)^2=13
Portanto o centro é
A1=(2,-1),
e o raio é
r1=raiz13

Passo 3

Calculamos a distância de cada ponto a A1 e comparamos a raiz13:
d(P,A1)=raiz(1-2)^2+(1+1)^2=raiz1+4=raiz5<raiz13 Longrightarrow PinI
d(Q,A1)=raiz(-3-2)^2+(2+1)^2=raiz25+9=raiz34>raiz13 Longrightarrow QinE
d(R,A1)=raiz(-2-2)^2+(-2+1)^2=raiz16+1=raiz17>raiz13 Longrightarrow RinE
d(S,A1)=raiz(4-2)^2+(-2+1)^2=raiz4+1=raiz5<raiz13 Longrightarrow SinI

Passo 4

Reescrevendo C2:
x^2-x+y^2=1
completamos o quadrado em x:
(x-tfrac12)^2-tfrac14+y^2=1 Longrightarrow (x-tfrac12)^2+y^2=tfrac54
Logo
A2=(tfrac12,0), r2=raiztfrac54=raiz52

Passo 5

Distância entre centros:
d(A1,A2) =raizl(2-tfrac12r)^2+(-1-0)^2 =raiztfrac94+1 =raiz132
Para círculos, há interseção se
l|r1-r2r|<= d(A1,A2)<= r1+r2
Aqui
r1-r2 =raiz13-raiz52 =2raiz13-raiz52 approx2,488
e
d(A1,A2)=raiz132approx1,803<2,488
Logo d(A1,A2)<|r1-r2|, não há interseção e, como
d(A1,A2)+r2 approx1,803+1,118=2,921<raiz13approx3,606,
o círculo C2 está totalmente no interior de C1.

Resposta

(a) P e S estão no interior de C1; Q e R estão no exterior de C1.
(b) C2 não intersecta C1 e está inteiramente contido no interior de C1.

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