Determine se o conjunto de vetores de R^3 são LI ou LD:
S=(2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
;S=v1,v2,v3subsetR^3, onde
v1=(2,1,-2), v2=(3,2,-2), v3=(2,2,0),
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Conteúdo: teoria de independência linear em espaços vetoriais finitos. Vamos usar o critério do determinante e, em seguida, encontrar uma combinação linear não trivial, se existir.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 2 & 3 & 2 1 & 2 & 2 -2 & -2 & 0
Pelo Teorema de Cramer, em R^3 o conjunto é LI se, e somente se, det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =2det2&2-2&0 -3det1&2-2&0 +2det1&2-2&-2
Cada menor vale
det2&2-2&0 =2cdot0 - 2cdot(-2)=4, det1&2-2&0 =1cdot0 -2cdot(-2)=4,
det1&2-2&-2 =1cdot(-2) -2cdot(-2)=2
Logo
det(A)=2cdot4 -3cdot4 +2cdot2=8 -12 +4=0

Passo 4

Como
Podemos, por exemplo, buscar tais que . Do sistema
vem . Logo
é uma combinação não trivial, confirmando a dependência.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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