Em cada item, encontre:
a) o elemento neutro da soma (basta indicar e verificar);
b) o formato do oposto de um elemento qualquer;
c) o elemento neutro do produto (a unidade) quando existir;
d) dar o formato do inverso de um elemento qualquer, decidindo quando ele existe ou não no anel;
e) apresentar um par de divisores de zero caso existam.
*(d) Lembre-se que se o anel não tem unidade então a questão (d) não fará sentido. No caso de ser um anel finito ao invés de dar o formato podemos encontrar um por um dos inversos de cada elemento que for inversivel.
  1. A=M2(Z);
  2. A=3 Z;
  3. A=Z times Z;
  4. A=Z12;
  5. A=Z7;
  6. A=Z4 times Z3;
  7. A=M2(M2(R));
  8. A=M2(Z2) times Z2;
  9. A=Z times Z times Z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre anéis na Álgebra. Precisamos, para cada um dos nove anéis listados, encontrar:
a) O elemento neutro da soma;
b) O formato do oposto de um elemento qualquer;
c) O elemento neutro do produto (a unidade), quando existir;
d) O formato do inverso de um elemento qualquer, decidindo quando ele existe ou não no anel;
e) Apresentar um par de divisores de zero, caso existam.
Vamos precisar entender bem o que é um anel, elementos neutros, opostos, inversos e divisores de zero para resolver cada item. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com o item 1: A = M2(Z).
a) Elemento neutro da soma:
No conjunto das matrizes 2 times 2 com entradas em Z, o elemento neutro da soma é a matriz nula, ou seja:
0 & 0 0 & 0
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de uma matriz M = a & b c & d é simplesmente:
-M = -a & -b -c & -d
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade no anel M2(Z) é a matriz identidade, que é:
I = 1 & 0 0 & 1
d) Inverso de um elemento qualquer:
Em M2(Z), a inversa multiplicativa de uma matriz existe se e somente se ela for invertível e sua inversa também tiver entradas inteiras. Porém, a maioria das matrizes em M2(Z) não possui inverso dentro do anel, já que a inversa geralmente não terá entradas inteiras. Portanto, a menos que a matriz seja a identidade, ela não tem inverso.
e) Divisores de zero:
Em M2(Z), existem matrizes não nulas A e B tais que AB = 0. Por exemplo:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1
AB = 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 & 0 0 & 0

Passo 3

Item 2: A = 3Z.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro da soma em 3Z é 0, pois 3n + 0 = 3n para qualquer n in Z.
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de um elemento 3n é -3n.
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
Em 3Z, buscamos um elemento u tal que u cdot 3n = 3n. O único candidato é 1, mas 1 notin 3Z. Portanto, não existe elemento neutro do produto em 3Z.
d) Inversos:
Como não temos unidade, essa parte não se aplica conforme o enunciado.
e) Divisores de zero:
Em 3Z, que é um ideal de Z, não existem divisores de zero além do zero, pois Z é um domínio de integridade. Portanto, não existem divisores de zero em 3Z.

Passo 4

Item 3: A = Z times Z.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro é (0, 0), já que (a, b) + (0, 0) = (a, b).
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de (a, b) é (-a, -b).
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade é (1, 1), pois (1, 1) cdot (a, b) = (1 cdot a, 1 cdot b) = (a, b).
d) Inversos:
O inverso de (a, b) é (1/a, 1/b). No entanto, como estamos em Z, apenas (1,1) tem inverso dentro do anel, que é ele mesmo, pois 1 cdot 1 = 1.
e) Divisores de zero:
No produto direto Z times Z, não existem divisores de zero a não ser que um dos componentes seja zero. Por exemplo:
(a, 0) times (0, b) = (a cdot 0, 0 cdot b) = (0, 0)
Se a neq 0 e b neq 0, ainda assim o produto dá zero.

Passo 5

Item 4: A = Z12.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro é 0, já que a + 0 = a.
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de a é -a, que no Z12 pode ser representado como 12 - a.
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade é 1, já que 1 cdot a = a para todo a in Z12.
d) Inversos:
Um elemento a tem inverso multiplicativo se gcd(a, 12) = 1. Por exemplo, 5 tem inverso 5, pois 5 cdot 5 = 25 = 1. Já 4 não tem inverso porque gcd(4, 12) = 4 neq 1.
e) Divisores de zero:
Sim, existem. Por exemplo:
3 cdot 4 = 12 = 0

Passo 6

Item 5: A = Z7.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro é 0.
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de a é -a, ou 7 - a.
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade é 1.
d) Inversos:
Como 7 é primo, todo elemento a com a neq 0 tem inverso multiplicativo. Por exemplo, 2 tem inverso 4, já que 2 cdot 4 = 8 equiv 1 mod 7.
e) Divisores de zero:
Em Z7, que é um corpo, não existem divisores de zero além do zero.

Passo 7

Item 6: A = Z4 times Z3.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro é (0, 0).
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de (a, b) é (-a, -b).
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade é (1, 1).
d) Inversos:
Um elemento (a, b) tem inverso se a tem inverso em Z4 e b tem inverso em Z3. Em Z4, 1 e 3 possuem inversos. Em Z3, todos os elementos não nulos têm inverso.
e) Divisores de zero:
Sim, existem. Por exemplo:
(2, 0) cdot (0, 1) = (0, 0)

Passo 8

Item 7: A = M2(M2(R)).
a) Elemento neutro da soma:
A matriz nula, onde todos os elementos são matrizes nulas em M2(R).
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
Para uma matriz M = A & B C & D , onde A, B, C, D in M2(R), o oposto é:
-M = -A & -B -C & -D
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A matriz identidade de M2(M2(R)), que é a matriz 2 times 2 com matrizes identidade I2 nas diagonais e matrizes nulas fora.
I = I2 & 0 0 & I2
d) Inversos:
Uma matriz M em M2(M2(R)) tem inverso se for uma matriz invertível, ou seja, se existir M^-1 tal que MM^-1 = I. Isso acontece quando o determinante de M (considerando as matrizes M2(R) como elementos) é invertível, o que pode ser complicado, mas basicamente depende das propriedades internas das matrizes A, B, C, D.
e) Divisores de zero:
Sim, existem. Por exemplo, se M e N são matrizes não nulas tais que MN = 0, então são divisores de zero. Construir tais matrizes pode ser feito escolhendo matrizes com determinadas propriedades, como matrizes diagonais com elementos que anulam mutuamente.

Passo 9

Item 8: A = M2(Z2) times Z2.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro é (0, 0), onde 0 em M2(Z2) é a matriz nula e 0 em Z2 é o zero.
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
Como estamos em Z2, que tem apenas dois elementos, o oposto de qualquer elemento é ele mesmo. Assim, o oposto de (A, b) é (A, b).
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade é (I, 1), onde I é a matriz identidade em M2(Z2) e 1 é o elemento neutro multiplicativo em Z2.
d) Inversos:
Um elemento (A, b) tem inverso se A é invertível em M2(Z2) e b tem inverso em Z2. Em Z2, 1 é invertível. A invertibilidade de A depende do determinante de A em M2(Z2).
e) Divisores de zero:
Sim, existem. Por exemplo:
(A, 0) cdot (B, 1) = (A cdot B, 0)
Se A cdot B = 0 em M2(Z2), então (A, 0) e (B, 1) são divisores de zero.

Passo 10

Item 9: A = Z times Z times Z.
a) Elemento neutro da soma:
O elemento neutro é (0, 0, 0).
b) Formato do oposto de um elemento qualquer:
O oposto de (a, b, c) é (-a, -b, -c).
c) Elemento neutro do produto (a unidade):
A unidade é (1, 1, 1).
d) Inversos:
O inverso de (a, b, c) é (1/a, 1/b, 1/c). Porém, em Z, somente 1 e -1 têm inversos dentro do anel, então apenas (1, 1, 1) e (-1, -1, -1) possuem inversos.
e) Divisores de zero:
Sim, por exemplo:
(a, 0, 0) cdot (0, b, c) = (0, 0, 0)
onde a, b, c neq 0.

Resposta

Finalizamos a análise para cada um dos anéis apresentados, identificando os elementos neutros da soma e do produto, os opostos, os inversos quando existem, e os divisores de zero quando presentes. Se precisar de mais detalhes sobre algum item específico, é só falar!

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