Exercício 9. Faça o que se pede:
- Sejam
um anel qualquer e
. Mostre que
(a)
;
(b) Cada
, tem um único oposto. Use isso para provar que
;
(c)
;
(d)
; Ainda, quando
tem unidade 1, valem:
(e)
;
(f)
;
(g)
; onde
e
;
(h) Dê um exemplo mostrando que nem sempre vale
. Em que tipo de anel isso valerá?
- Encontre todos os divisores de zero dos anéis:
e
;
- Mostre que
tem inverso se e somente se,
; Use isso para calcular
.
- Seja
um domínio de integridade (anel comutativo com unidade sem divisores de zero); mostre que vale a lei do concelamento: Se
e x.y
então
; De um exemplo mostrando que em
isso nem sempre é verdade.
- Mostre que em
a equação
tem 4 soluções. Quantas soluções existem no
? Equações de grau dois não deveriam ter somente 2 raízes? .
- Mostre que se
é um anel onde para todo
, valer que
, então este anel é comutativo.
(a)
(b) Cada
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Dê um exemplo mostrando que nem sempre vale
Passo 1
O enunciado reúne vários resultados básicos de teoria de anéis: na parte
provas de propriedades usuais (produto com zero, oposto único, distribuição, potência, binomial), na parte
identificação de divisores de zero em
e
, na parte
caracterização de invertíveis em
e cálculo de
, na parte
a lei do cancelamento em domínios integrais e um contra-exemplo em
, na parte
solução de
em
e
, e na parte
a prova de que anéis “booleanos” (
) são comutativos. Vamos usar definições de anel, unicidade de oposto aditivo, propriedades de divisor de zero, o conceito de domínio inteiro e indução em potências.
Passo 2
Provar que
.
Como é o elemento neutro aditivo, temos
Como
Somando o oposto aditivo de
em ambos os lados resulta
e análoga-mente
.
Passo 3
Mostrar unicidade do oposto aditivo e daí
Sabendo que em qualquer grupo abeliano
cada
tem oposto único, note que
logo
é oposto de
, portanto
. De modo similar,
é também oposto de
, forçando todas as três expressões a coincidirem.
Passo 4
Provar
.
Usando o resultado anterior,
Usando o resultado anterior,
Passo 5
Distribuição em subtração:
De fato
, então
Passo 6
Supondo unidade
:
(a) porque
e pelo item
.
(b) pois
pelo item
aplicado a
.
(a)
(b)
Passo 7
Potências e indutivo: definimos
,
. Para provar
usamos indução em
: para
é trivial; supondo
, então
Passo 8
Contra-exemplo a
em qualquer anel não comutativo: seja
matrizes
tais que
. Então
mas
Como
, claramente as duas expressões diferem. Em qualquer anel comutativo (ou em característica qualquer onde
seja central) vale a fórmula binomial usual.
Passo 9
Divisores de zero em
e
. Em
,
é divisor de zero se existe
com
, ou seja
.
Em : os
com
são
.
Em : são os
com
, isto é
Em
Em
Passo 10
Invertíveis em
:
tem inverso se e só se
. Logo em
os invertíveis são aqueles coprimos a
:
Passo 11
Lei do cancelamento em domínio de integridade
: se
e
então
e como não há divisores de zero,
, logo
.
Contra-exemplo em : tome
,
,
.
mas
.
Contra-exemplo em
Passo 12
Soluções de
em
e
.
Em resolvemos
, testando
: só satisfazem
(
soluções).
Em testamos
e achamos soluções
(
soluções). Logo um polinômio de grau
pode ter mais de
raízes em anéis que não sejam campos.
Em
Em
Passo 13
Se em
vale
para todo
, então
é comutativo.
De obtemos
De
Mas também
implica
, isto é,
para todo
. Logo
mostrando comutatividade.