Exercício 9. Faça o que se pede:
  1. Sejam (A,+, cdot) um anel qualquer e x, y, z in A. Mostre que
    (a) 0 x=x cdot 0=0;
    (b) Cada x in A, tem um único oposto. Use isso para provar que -(x y)=(-x) y=x (-y);
    (c) (-x) cdot(-y)=x y;
    (d) x (y-z)=x y-x z; Ainda, quando A tem unidade 1, valem:
    (e) (-1) cdot x=-x;
    (f) (-1)^-1=-1;
    (g) (x^n)^m=x^n+m; onde x^1=x e x^n=x^n-1 x;
    (h) Dê um exemplo mostrando que nem sempre vale (x+y)^2=x^2+2 x y+y^2. Em que tipo de anel isso valerá?
  2. Encontre todos os divisores de zero dos anéis: Z8 e Z24;
  3. Mostre que barx in Zn tem inverso se e somente se, mdc(x, n)=1; Use isso para calcular U(Z24).
  4. Seja (D,+, cdot) um domínio de integridade (anel comutativo com unidade sem divisores de zero); mostre que vale a lei do concelamento: Se x neq 0 e x.y =x z então y=z; De um exemplo mostrando que em Z6 isso nem sempre é verdade.
  5. Mostre que em Z6 a equação x^2-x=0 tem 4 soluções. Quantas soluções existem no Z12 ? Equações de grau dois não deveriam ter somente 2 raízes? .
  6. Mostre que se (A,+, cdot) é um anel onde para todo x, valer que x^2=x, então este anel é comutativo.

Passo 1

O enunciado reúne vários resultados básicos de teoria de anéis: na parte 1 provas de propriedades usuais (produto com zero, oposto único, distribuição, potência, binomial), na parte 2 identificação de divisores de zero em Z8 e Z24, na parte 3 caracterização de invertíveis em Zn e cálculo de U(Z24), na parte 4 a lei do cancelamento em domínios integrais e um contra-exemplo em Z6, na parte 5 solução de x^2 - x = 0 em Z6 e Z12, e na parte 6 a prova de que anéis “booleanos” ( x^2=x) são comutativos. Vamos usar definições de anel, unicidade de oposto aditivo, propriedades de divisor de zero, o conceito de domínio inteiro e indução em potências.

Passo 2

Provar que 0cdot x = xcdot 0 = 0.
Como 0 é o elemento neutro aditivo, temos
0cdot x = (0+0)cdot x = 0cdot x + 0cdot x
Somando o oposto aditivo de 0cdot x em ambos os lados resulta
0 = 0cdot x,
e análoga-mente xcdot0=0.

Passo 3

Mostrar unicidade do oposto aditivo e daí
-(xcdot y)=(-x)cdot y = xcdot(-y)
Sabendo que em qualquer grupo abeliano (A,+) cada x tem oposto único, note que
xcdot y + l((-x)cdot yr) = (x+(-x))cdot y = 0cdot y = 0,
logo (-x)cdot y é oposto de xcdot y, portanto -(xcdot y)) = (-x)cdot y. De modo similar, xcdot(-y) é também oposto de xcdot y, forçando todas as três expressões a coincidirem.

Passo 4

Provar (-x)cdot(-y)=xcdot y.
Usando o resultado anterior,
(-x)cdot(-y) = -l(xcdot(-y)r) = -l(-(xcdot y)r) = xcdot y

Passo 5

Distribuição em subtração:
xcdot(y-z) = xcdot y - xcdot z
De fato y-z = y +(-z), então
xcdot(y-z) = xcdot y + xcdot(-z) = xcdot y - xcdot z

Passo 6

Supondo unidade 1in A:
(a) (-1)cdot x=-x porque 1cdot x=x e pelo item 2 -(1cdot x)=(-1)cdot x.
(b) (-1)^-1=-1 pois (-1)cdot(-1)=1 pelo item 4 aplicado a x=1,y=1.

Passo 7

Potências e indutivo: definimos x^1=x, x^n=x^n-1cdot x. Para provar
(x^n)^m = x^n,m
usamos indução em m: para m=1 é trivial; supondo (x^n)^m = x^n,m, então
(x^n)^m+1 = (x^n)^mcdot x^n = x^n,mcdot x^n = x^n(m+1)

Passo 8

Contra-exemplo a (x+y)^2 = x^2 +2xy+y^2 em qualquer anel não comutativo: seja A,B matrizes 2times2 tais que ABneq BA. Então
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
mas
x^2+2xy+y^2 = A^2 + (AB+AB) + B^2
Como ABneq BA, claramente as duas expressões diferem. Em qualquer anel comutativo (ou em característica qualquer onde 2 seja central) vale a fórmula binomial usual.

Passo 9

Divisores de zero em Z8 e Z24. Em Zn, bar a é divisor de zero se existe bar bneqbar0 com abequiv0pmod n, ou seja gcd(a,n)>1.
Em Z8: os a com gcd(a,8)>=2 são 2,4,6.
Em Z24: são os ain1,dots,23 com gcd(a,24)>1, isto é
2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22

Passo 10

Invertíveis em Zn: bar x tem inverso se e só se gcd(x,n)=1. Logo em Z24 os invertíveis são aqueles coprimos a 24:
U(Z24) = bar1,bar5,bar7,bar11,bar13,bar17,bar19,bar23

Passo 11

Lei do cancelamento em domínio de integridade D: se xneq0 e xcdot y = xcdot z então
xcdot(y-z)=0
e como não há divisores de zero, y-z=0, logo y=z.
Contra-exemplo em Z6: tome x=bar2, y=bar3, z=bar0.
bar2cdotbar3=bar0=bar2cdotbar0 mas bar3neqbar0.

Passo 12

Soluções de x^2 - x = 0 em Z6 e Z12.
Em Z6 resolvemos bar x(bar x-bar1)=bar0, testando bar x=0,1,2,3,4,5: só satisfazem bar0,bar1,bar3,bar4 ( 4 soluções).
Em Z12 testamos bar x=0,1,dots,11 e achamos soluções bar0,bar1,bar4,bar9 ( 4 soluções). Logo um polinômio de grau 2 pode ter mais de 2 raízes em anéis que não sejam campos.

Passo 13

Se em A vale x^2=x para todo x, então A é comutativo.
De (x+y)^2 = x+y obtemos
x^2 + xy + yx + y^2 = x + y
Longrightarrow xy + yx = 0
Mas também (1+1)^2 = 1+1 implica 2cdot1=0, isto é, -x = x para todo x. Logo
xy = -yx = yx,
mostrando comutatividade.

Resposta

1(a) 0cdot x = xcdot 0 = 0.
1(b) Oposto aditivo único e -(xy)=(-x)y= x(-y).
1(c) (-x)(-y)=xy.
1(d) x(y-z)=xy-xz.
1(e) (-1)x=-x.
1(f) (-1)^-1=-1.
1(g) (x^n)^m = x^nm por indução.
1(h) Por exemplo em matrizes 2times 2, (A+B)^2neq A^2+2AB+B^2. Em anéis comutativos vale a expansão binomial.
2. Divisores de zero em Z8: 2,4,6. Em Z24: 2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22.
3. bar xinZn é invertível iff gcd(x,n)=1.
U(Z24)=bar1,bar5,bar7,bar11,bar13,bar17,bar19,bar23 4. Em domínio integral vale cancelamento; em Z6 falha: 2cdot3=2cdot0, mas 3neq0.
5. Em Z6: 4 soluções ( 0,1,3,4). Em Z12: 4 soluções ( 0,1,4,9).
6. Se x^2=x forall x, então A é comutativo.

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