Para cada um dos sistemas lineares homogêneos a seguir, faça o que se pede:
31.1. determine o conjunto-solução do sistema e classifique-o.
31.2. relacione a sua classificação com a matriz A dos coeficientes (é invertível ou não).
a) l3 x+y+z=0 x+5 y-z=0 x+2 y-z=0
b) cx+y+2 z=0 x-3 y-2 z=0 2 x-y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois sistemas de equações lineares homogêneos aqui. Nosso objetivo é encontrar o conjunto de soluções de cada sistema e dizer se esse conjunto é só o zero ou se tem infinitas soluções. Além disso, vamos ver se a matriz dos coeficientes desse sistema é invertível ou não. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear como a eliminação de Gauss para simplificar as equações.

Sistema a)

l 3x + y + z = 0 x + 5y - z = 0 x + 2y - z = 0

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & 1 & 1 & | & 0 1 & 5 & -1 & | & 0 1 & 2 & -1 & | & 0

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Começamos fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda:
1 & 5 & -1 & | & 0 3 & 1 & 1 & | & 0 1 & 2 & -1 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar os x das outras linhas. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda e a primeira linha da terceira:
Linha2 = Linha2 - 3×Linha1:
3 - 3×1 = 0 1 - 3×5 = -14 1 - 3×(-1) = 4 0 - 3×0 = 0
Linha3 = Linha3 - Linha1:
1 - 1 = 0 2 - 5 = -3 -1 - (-1) = 0 0 - 0 = 0
A matriz fica:
1 & 5 & -1 & | & 0 0 & -14 & 4 & | & 0 0 & -3 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -14:
1 & 5 & -1 & | & 0 0 & 1 & -27 & | & 0 0 & -3 & 0 & | & 0

Passo 6

Em seguida, eliminamos o y da terceira linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira:
-3 + 3×1 = 0 0 + 3×(-27) = -67
A matriz fica:
1 & 5 & -1 & | & 0 0 & 1 & -27 & | & 0 0 & 0 & -67 & | & 0

Passo 7

Agora, podemos resolver as equações de baixo para cima. A última linha nos dá:
-67z = 0 implies z = 0

Passo 8

Substituímos z = 0 na segunda linha:
y - 27(0) = 0 implies y = 0

Passo 9

Finalmente, substituímos y = 0 e z = 0 na primeira linha:
x + 5(0) - 0 = 0 implies x = 0

Passo 10

Assim, a única solução para o sistema é x = 0, y = 0 e z = 0. Isso significa que o conjunto solução é apenas o vetor trivial.

Passo 11

Agora, vamos ver a matriz dos coeficientes A:
A = 3 & 1 & 1 1 & 5 & -1 1 & 2 & -1
Para saber se A é invertível, calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 12

Calculando o determinante de A:
det(A) = 3(5 cdot (-1) - (-1) cdot 2) - 1(1 cdot (-1) - (-1) cdot 1) + 1(1 cdot 2 - 5 cdot 1) = 3(-5 + 2) - 1(-1 + 1) + 1(2 - 5) = 3(-3) - 1(0) + 1(-3) = -9 - 0 -3 = -12 neq 0

Passo 13

Como o determinante de A é diferente de zero, a matriz A é invertível. Isso confirma que o sistema tem apenas a solução trivial, conforme encontramos.

Passo 14

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
1 & 1 & 2 & | & 0 1 & -3 & -2 & | & 0 2 & -1 & 1 & | & 0

Passo 15

Usamos a eliminação de Gauss novamente. Mantemos a primeira linha como está e eliminamos o x das outras linhas.
Linha2 = Linha2 - Linha1:
1 - 1 = 0 -3 - 1 = -4 -2 - 2 = -4 0 - 0 = 0
Linha3 = Linha3 - 2×Linha1:
2 - 2×1 = 0 -1 - 2×1 = -3 1 - 2×2 = -3 0 - 0 = 0
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 0 0 & -4 & -4 & | & 0 0 & -3 & -3 & | & 0

Passo 16

Agora, simplificamos a segunda linha dividindo por -4:
1 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & -3 & -3 & | & 0

Passo 17

Eliminamos o y da terceira linha adicionando 3 vezes a segunda linha à terceira:
-3 + 3×1 = 0 -3 + 3×1 = 0
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 18

Agora, temos uma linha toda de zeros, o que indica que o sistema tem infinitas soluções. Vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro.
Da segunda linha:
y + z = 0 implies y = -z
Da primeira linha:
x + y + 2z = 0 implies x = -y - 2z = -(-z) - 2z = z - 2z = -z

Passo 19

Vamos definir z = t, onde t é um parâmetro real. Então:
x = -t y = -t z = t

Passo 20

Portanto, o conjunto solução é todos os vetores da forma (x, y, z) = (-t, -t, t), onde t é um número real. Podemos escrever isso como:
(x, y, z) = t(-1, -1, 1), t in R

Passo 21

Agora, vamos analisar a matriz dos coeficientes A:
A = 1 & 1 & 2 1 & -3 & -2 2 & -1 & 1
Vamos calcular o determinante de A para ver se é invertível.

Passo 22

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1((-3) cdot 1 - (-2) cdot (-1)) - 1(1 cdot 1 - (-2) cdot 2) + 2(1 cdot (-1) - (-3) cdot 2) = 1(-3 - 2) - 1(1 - (-4)) + 2(-1 - (-6)) = 1(-5) - 1(5) + 2(5) = -5 -5 +10 = 0

Passo 23

Como o determinante de A é zero, a matriz não é invertível. Isso está relacionado com o fato de que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, há dependência linear entre as equações.

Resposta

b) O conjunto solução é todos os vetores (x, y, z) = t(-1, -1, 1) para qualquer número real t, ou seja, infinitas soluções. A matriz A não é invertível porque seu determinante é zero.

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