Para cada um dos sistemas lineares homogêneos a seguir, faça o que se pede:
31.1. determine o conjunto-solução do sistema e classifique-o.
31.2. relacione a sua classificação com a matriz A dos coeficientes (é invertível ou não).
a)
b) cx+y+2 z=0 x-3 y-2 z=0 2 x-y+z=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois sistemas de equações lineares homogêneos aqui. Nosso objetivo é encontrar o conjunto de soluções de cada sistema e dizer se esse conjunto é só o zero ou se tem infinitas soluções. Além disso, vamos ver se a matriz dos coeficientes desse sistema é invertível ou não. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear como a eliminação de Gauss para simplificar as equações.
Sistema a)
l 3x + y + z = 0 x + 5y - z = 0 x + 2y - z = 0
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Começamos fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda:
Como o determinante de A é zero, a matriz não é invertível. Isso está relacionado com o fato de que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, há dependência linear entre as equações.
Resposta
b) O conjunto solução é todos os vetores (x, y, z) = t(-1, -1, 1) para qualquer número real t, ou seja, infinitas soluções. A matriz A não é invertível porque seu determinante é zero.