Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver.
rlrl 3 x-5 y+2 z & =2 & 3 x-5 y+2 z & =3 4 x-3 y+z & =1 & 4 x-3 y+z & =4 5 x-12 y+5 z & =6 & 6 x-10 y+4 z & =6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de sistemas lineares! A gente tem dois sistemas de equações com três variáveis cada (x, y e z). O objetivo aqui é descobrir em qual dos oito casos discutidos no texto cada sistema se encaixa e, se possível, encontrar todas as soluções para eles. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, como métodos de substituição, equivalência de sistemas e análise de consistência.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro sistema:
3x - 5y + 2z = 2 4x - 3y + z = 1 5x - 12y + 5z = 6
Primeiro, vamos tentar simplificar esse sistema para ver se conseguimos encontrar relações mais fáceis entre as equações. Uma maneira de fazer isso é usar o método de eliminação.

Passo 3

Vamos eliminar uma das variáveis. Vou escolher eliminar o [x). Para isso, vou multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de :
ªçãªçã
Agora, vamos subtrair a segunda equação modificada da primeira para eliminar (x]:
Então, temos uma nova equação:

Passo 4

Agora, vamos eliminar x na primeira e terceira equações do sistema original. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 5 e a terceira por 3:
15x - 25y + 10z = 10 (Mu<iplicando a 1ª equação por 5) 4x - 3y + z = 1 15x - 36y + 15z = 18 (Mu<iplicando a 3ª equação por 3) ªçãªçã
Subtraindo a primeira equação modificada da terceira:
(15x - 36y + 15z) - (15x - 25y + 10z) = 18 - 10 Rightarrow -11y + 5z = 8
Então, temos outra equação:
-11y + 5z = 8 (5)

Passo 5

Agora, comparemos as equações (4) e (5):
-11y + 5z = 5 -11y + 5z = 8
Percebemos que temos duas equações que afirmam que -11y + 5z é igual a 5 e também a 8, o que é impossível. Isso significa que o sistema não tem solução.

Passo 6

Vamos passar para o segundo sistema:
3x - 5y + 2z = 3 4x - 3y + z = 4 6x - 10y + 4z = 6
Novamente, vamos tentar simplificar esse sistema usando o método de eliminação.

Passo 7

Observando o terceiro equacionamento, percebemos que ele é exatamente o dobro do primeiro:
6x - 10y + 4z = 6 é o mesmo que 2 times (3x - 5y + 2z) = 2 times 3 é
Isso nos indica que as duas primeiras equações são suficientes para determinar as variáveis, e a terceira é redundante.

Passo 8

Vamos resolver as duas primeiras equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou por eliminação. Vou optar pela eliminação. Vamos multiplicar a equação (A) por 4 e a equação (B) por 3 para igualar os coeficientes de [x):
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então, temos:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar (y]:
Agora, substituímos na equação (B):
Simplificando:
Isolando :

Resposta

O primeiro sistema é inconsistente, não possui solução.
O segundo sistema possui infinitas soluções, onde:
x = 1 + 111z y = 511z z pode ser qualquer número real ú

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