Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
Em M2 times 2(R) (matrizes quadradas 2 por 2 cuja as entradas ai j são reais),
[ll a11 & a12 a21 & a22 ] *[ll b11 & b12 b21 & b22 ]=[ll a11 b11-a12 b21 & a11 b12-a12 b22 a21 b11-a22 b21 & a21 b12-a22 b22 ]

Passo 1

O enunciado define em M2times2(R) a operação
A*B = a11b11-a12b21 & a11b12-a12b22 a21b11-a22b21 & a21b12-a22b22 ,
onde A=(aij) e B=(bij). Vamos verificar:
  1. associatividade;
  2. comutatividade;
  3. existência de elemento neutro;
  4. quando existir, achar os inversos (simétricos) dos elementos.

Passo 2

Verificação da associatividade. Seja A,B,Cin M2times2(R). O termo genérico de (A*B)*C na posição (i,j) é
(A*B)*C)ij =(A*B)i1,c1j-(A*B)i2,c2j =(ai1b11-ai2b21)c1j-(ai1b12-ai2b22)c2j
Reagrupando,
=ai1(b11c1j-b12c2j) -ai2(b21c1j-b22c2j) =(A*(B*C))ij
Logo (A*B)*C = A*(B*C), ou seja, a operação é associativa.

Passo 3

Contraexemplo à comutatividade. Tome
A=1&00&0, B=0&01&0
Calcule
A*B= 1cdot0-0cdot1 & 1cdot0-0cdot0 0cdot0-0cdot1 & 0cdot0-0cdot0 =0&00&0,
enquanto
B*A= 0cdot1-0cdot0 & 0cdot0-0cdot0 1cdot1-0cdot0 & 1cdot0-0cdot0 =0&01&0neq A*B
Portanto não é comutativa.

Passo 4

Busca do elemento neutro E=(eij) tal que A*E=A e E*A=A para todo A.
Da condição A*E=A obtemos para todos i,j:
ai1e1j-ai2e2j=aij
Comparando coeficientes de ai1 e ai2 chegamos a
e11=1, e21=0, e12=0, e22=-1
Isto é,
E=1&00&-1
Verifica-se também que E*A=A. Logo E é o neutro.

Passo 5

Simétricos (inversos) em relação a . Dado
procuramos tal que
Da igualdade surge o sistema linear em e em . Resolvendo, exige-se
e obtém-se
Confirma-se facilmente que também .
Portanto os elementos que têm simétrico são exatamente as matrizes com , e seu inverso é

Resposta

Associativa: sim.
Comutativa: não.
Elemento neutro:
Elementos invertíveis (com simétrico): as tais que . Se
, então

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