Questão 3. Calcule a integral definida se ela existir:
integral d xcos x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral dxcos x - 1
usando identidades trigonométricas e substituição apropriada.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo metade
cos x - 1 = -2sin^2!l(x2r)
Logo,
1cos x - 1 = -12,sin^2!l(x2r) = -tfrac12,csc^2!l(tfracx2r)

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral dxcos x - 1 = -tfrac12integral csc^2!l(tfracx2r),dx

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x2, du = dx2 Longrightarrow dx = 2,du
Então
-tfrac12integral csc^2!l(tfracx2r),dx = -tfrac12integral csc^2(u)cdot 2,du = -integral csc^2(u),du

Passo 5

Sabemos que
integral csc^2(u),du = -cot(u) + C
Portanto
-integral csc^2(u),du = cot(u) + C
Voltando a x, u = tfracx2, obtemos
cot!l(tfracx2r) + C

Passo 6

A primitiva existe sempre que sin!l(tfracx2r)neq 0, isto é, em intervalos que não contenham x=2pi k, kinZ.

Resposta

integral dxcos x - 1 = cot!l(tfracx2r) + C

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