Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por x, y e z ) para a reta que passa pelo ponto A e possui v como um vetor diretor.
(d) A = (-1, -2, 0) e v = (0, 0, 3).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para uma reta no espaço. A reta passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma compacta de representar uma reta usando um ponto por onde ela passa e um vetor diretor. A fórmula geral é:
Onde:
  • é o vetor posição qualquer na reta.
  • é o vetor posição do ponto .
  • é o vetor diretor.
  • é um parâmetro real.
Substituindo os valores dados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada , e em função de um parâmetro . A partir da equação vetorial, temos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos seguir para as equações simétricas. Essas equações relacionam , e eliminando o parâmetro . A ideia é isolar em cada equação paramétrica e igualar:
No entanto, como os denominadores das primeiras frações são zero, isso indica que e são constantes na reta. Assim, as equações simétricas ficam:

Passo 5

Por fim, vamos determinar as equações reduzidas. Como e são constantes, só precisamos expressar em termos de :
Mas para uma forma mais reduzida, já que , podemos escrever:

Resposta

As equações da reta que passa pelo ponto com vetor diretor são:
  • Equação vetorial:
  • Equações paramétricas:
  • Equações simétricas:
  • Equação reduzida:

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