Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por e ) para a reta que passa pelo ponto e possui como um vetor diretor.
(d) e .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para uma reta no espaço. A reta passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma compacta de representar uma reta usando um ponto por onde ela passa e um vetor diretor. A fórmula geral é:
Onde:
é o vetor posição qualquer na reta.
é o vetor posição do ponto .
é o vetor diretor.
é um parâmetro real.
Substituindo os valores dados:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada , e em função de um parâmetro . A partir da equação vetorial, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos seguir para as equações simétricas. Essas equações relacionam , e eliminando o parâmetro . A ideia é isolar em cada equação paramétrica e igualar:
No entanto, como os denominadores das primeiras frações são zero, isso indica que e são constantes na reta. Assim, as equações simétricas ficam:
Passo 5
Por fim, vamos determinar as equações reduzidas. Como e são constantes, só precisamos expressar em termos de :
Mas para uma forma mais reduzida, já que , podemos escrever:
Resposta
As equações da reta que passa pelo ponto com vetor diretor são: