Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por e ) para a reta que passa pelo ponto e possui como um vetor diretor.
(a) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar diferentes formas de descrever uma reta no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar a reta que passa pelo ponto e tem o vetor diretor . As formas que vamos encontrar são: equação vetorial, equações paramétricas, simétricas e reduzidas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma compacta de representar a reta usando um ponto por onde ela passa e um vetor que indica a direção. A fórmula geral é:
Aqui, é o vetor posição do ponto , é o vetor diretor, e é um parâmetro real que varia.
Substituindo os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas descrevem cada coordenada da reta em função do parâmetro t. A fórmula geral fica assim:
Onde é o ponto A e (a, b, c) são as componentes do vetor v.
Aplicando os valores:
Simplificando:
Passo 4
Vamos seguir para as equações simétricas. Essa forma relaciona as coordenadas x, y, e z diretamente entre si, eliminando o parâmetro t. A fórmula geral é:
No nosso caso:
Observando que a fração com y tem denominador zero, isso significa que y é constante. Então, ajustamos a equação:
Passo 5
Por fim, vamos às equações reduzidas. Elas são uma simplificação das equações simétricas, onde resolvemos uma das variáveis em função das outras. Como y é constante, as equações reduzidas ficam:
Ou, eliminando o parâmetro t, podemos expressar z em função de x: