Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por x, y e z ) para a reta que passa pelo ponto A e possui v como um vetor diretor.
(b) A = (0, 2, 0) e v = (0, 2, 0).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica que pede para encontrar diferentes formas de representar uma reta. O conteúdo envolve equações de retas no espaço tridimensional usando vetores diretores e pontos. Para isso, vamos precisar entender como construir as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida de uma reta a partir de um ponto que ela passa e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto pelo qual a reta passa e o vetor diretor fornecidos no exercício:
  • Ponto
  • Vetor diretor

Passo 3

Equação Vetorial:
A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde:
  • r é o vetor posição de um ponto qualquer na reta.
  • A é o vetor posição do ponto A.
  • v é o vetor diretor da reta.
  • t é um parâmetro real.
Substituindo os valores de A e v:

Passo 4

Equação Paramétrica:
Para encontrar as equações paramétricas, separamos as componentes do vetor posição r:
Simplificando:

Passo 5

Equação Simétrica:
A equação simétrica relaciona as coordenadas x, y e z da reta sem o parâmetro t. Observando as equações paramétricas:
  • De x = 0, temos que x é sempre 0.
  • De , isolamos t: .
  • De , temos que z é sempre 0.
Como x e z não dependem de t, a equação simétrica fica apenas em termos de y:
Isso indica que a reta é paralela ao eixo y e passa pelos pontos onde x = 0 e .

Passo 6

Equação Reduzida:
A equação reduzida é uma forma simplificada das equações paramétricas, especialmente útil quando algumas coordenadas são constantes. Neste caso, como x e z são constantes ( x = 0 e ), a equação reduzida fica:

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
  • Equação Paramétrica:
  • Equação Simétrica:
  • Equação Reduzida:

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