Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por e ) para a reta que passa pelo ponto e possui como um vetor diretor.
(b) e .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica que pede para encontrar diferentes formas de representar uma reta. O conteúdo envolve equações de retas no espaço tridimensional usando vetores diretores e pontos. Para isso, vamos precisar entender como construir as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida de uma reta a partir de um ponto que ela passa e um vetor diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto pelo qual a reta passa e o vetor diretor fornecidos no exercício:
Ponto
Vetor diretor
Passo 3
Equação Vetorial:
A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde:
é o vetor posição de um ponto qualquer na reta.
é o vetor posição do ponto .
é o vetor diretor da reta.
é um parâmetro real.
Substituindo os valores de e :
Passo 4
Equação Paramétrica:
Para encontrar as equações paramétricas, separamos as componentes do vetor posição :
Simplificando:
Passo 5
Equação Simétrica:
A equação simétrica relaciona as coordenadas x, y e z da reta sem o parâmetro t. Observando as equações paramétricas:
De x = 0, temos que x é sempre 0.
De , isolamos t: .
De , temos que z é sempre 0.
Como x e z não dependem de t, a equação simétrica fica apenas em termos de y:
Isso indica que a reta é paralela ao eixo y e passa pelos pontos onde x = 0 e .
Passo 6
Equação Reduzida:
A equação reduzida é uma forma simplificada das equações paramétricas, especialmente útil quando algumas coordenadas são constantes. Neste caso, como x e z são constantes (x = 0 e ), a equação reduzida fica: