Em cada item, encontre a integral que calcula a área da região R dada abaixo:
R=\left\{(x, y) ; 4 x^{2}+y^{2} \leq 1\right. e \left.y \geq x-1\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R=\bigl\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\le1,\;y\ge x-1\bigr\}
Vamos usar integral dupla em coordenadas cartesianas. Primeiro projetamos R no eixo x para encontrar os limites de integração em x e, em seguida, para cada x achamos os limites de y.

Passo 2

Para detectar onde a reta y=x-1 corta a fronteira da elipse 4x^{2}+y^{2}=1, substituímos y=x-1 na equação da elipse:
4x^{2}+(x-1)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+x^{2}-2x+1=1 \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2}-2x=0
Dessa equação vêm as soluções
x=0 \quad\text{e}\quad x=\tfrac{2}{5}.

Passo 3

A projeção total da elipse no eixo x é -\tfrac12\le x\le\tfrac12. O corte pela reta faz com que a região R exista apenas quando
y\ge x-1\le \sqrt{\,1-4x^{2}\,},
isto é, para -\tfrac12\le x\le\tfrac25.

Passo 4

Para cada x\in[-\tfrac12,\tfrac25], o intervalo de y é
  • se -\tfrac12\le x\le0, a reta fica abaixo do bordo inferior da elipse, então
-\sqrt{1-4x^{2}}\;\le\;y\;\le\;\sqrt{1-4x^{2}}.
  • se 0\le x\le\tfrac25, a reta fica acima do bordo inferior, então
x-1\;\le\;y\;\le\;\sqrt{1-4x^{2}}.

Passo 5

Somando as duas faixas em x, a área A de R é dada por
A =\int_{-1/2}^{0}\!\!\int_{-\sqrt{1-4x^{2}}}^{\sqrt{1-4x^{2}}}1\,dy\,dx \;+\; \int_{0}^{2/5}\!\!\int_{\,x-1}^{\sqrt{1-4x^{2}}}1\,dy\,dx.

Resposta

A =\int_{-1/2}^{0}\int_{-\sqrt{1-4x^{2}}}^{\sqrt{1-4x^{2}}}dy\,dx \;+\; \int_{0}^{2/5}\int_{x-1}^{\sqrt{1-4x^{2}}}dy\,dx.

Exercícios relacionados