Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(a) a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a sequência de somas parciais \{s_{N}\} da série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n},\quad a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}},
e, se ela convergir, calcular sua soma. Vamos usar que esta é uma série telescópica e depois calcular o limite de s_{N}.

Passo 2

Definimos a soma parcial
s_{N}=\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr).

Passo 3

Expandindo em forma telescópica,
s_{N}=\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\Bigr).
Todos os termos intermediários se cancelam, restando
s_{N}=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 4

Para ver a convergência, calculamos
\lim_{N\to\infty}s_{N} =\lim_{N\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\Bigr) =1.
Logo, a série converge e sua soma é 1.

Resposta

\displaystyle s_{N}=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=1

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