Em cada item, encontre a integral que calcula a área da região R dada abaixo:
R=\left\{(x, y) ; x^{2}-y^{2} \geq 4\right. e \left.x^{2}+y^{2}<14\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R = \{(x,y)\mid x^2 - y^2 \ge 4,\;x^2+y^2<14\}
usando integrais duplas. Vamos montar duas expressões:
(a) em coordenadas cartesianas (x,y) e
(b) em coordenadas polares (r,θ).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, para cada y fixo temos que x satisfaz
x^2 - y^2 \ge 4 \quad\Longrightarrow\quad |x|\ge \sqrt{4 + y^2},
e ao mesmo tempo
x^2 + y^2 < 14 \quad\Longrightarrow\quad |x| < \sqrt{14 - y^2}.
Para existir região com \sqrt{4+y^2}\le\sqrt{14-y^2} precisamos de
4 + y^2 \le 14 - y^2 \quad\Longrightarrow\quad 2y^2 \le 10 \quad\Longrightarrow\quad |y|\le \sqrt5.

Passo 3

Portanto, em cada y\in[-\sqrt5,\sqrt5] a parte relevante está em x\ge0 e em x\le0. Mas, pela simetria, basta dobrar a integral para x\ge0. Para x\ge0 temos
x\in\bigl[\sqrt{4+y^2},\,\sqrt{14-y^2}\bigr].

Passo 4

A área em coordenadas cartesianas fica então
\text{Área} =\;2\int_{y=-\sqrt5}^{\sqrt5} \Bigl(\sqrt{14 - y^2}\;-\;\sqrt{4 + y^2}\Bigr)\,dy.Á

Passo 5

Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
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x^2-y^2 = r^2\cos(2\theta)\ge 4 \quad\Longrightarrow\quad r\ge \frac{2}{\sqrt{\cos(2\theta)}},
e
x^2+y^2 = r^2<14 \quad\Longrightarrow\quad r<\sqrt{14}.
Além disso precisamos de \cos(2\theta)>0, ou seja
-\tfrac\pi4<\theta<\tfrac\pi4 \quad\text{ou}\quad \tfrac{3\pi}4<\theta<\tfrac{5\pi}4.

Passo 6

A área em coordenadas polares é
\text{Área} =\int_{\theta=-\frac\pi4}^{\frac\pi4} \int_{r=\frac{2}{\sqrt{\cos(2\theta)}}}^{\sqrt{14}} r\,dr\,d\theta \;+\; \int_{\theta=\frac{3\pi}4}^{\frac{5\pi}4} \int_{r=\frac{2}{\sqrt{\cos(2\theta)}}}^{\sqrt{14}} r\,dr\,d\theta.Á

Resposta

(a) \text{Área} =2\int_{-\sqrt5}^{\sqrt5} \bigl(\sqrt{14 - y^2}-\sqrt{4 + y^2}\bigr)\,dy.Á
(b) \text{Área} =\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\!\! \int_{\frac{2}{\sqrt{\cos(2\theta)}}}^{\sqrt{14}}\! r\,dr\,d\theta \;+\; \int_{\frac{3\pi}4}^{\frac{5\pi}4}\!\! \int_{\frac{2}{\sqrt{\cos(2\theta)}}}^{\sqrt{14}}\! r\,dr\,d\theta.Á

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