Em cada item, encontre a integral que calcula a área da região
dada abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região
usando integrais duplas. Vamos montar duas expressões:
(a) em coordenadas cartesianas (x,y) e
(b) em coordenadas polares (r,θ).
(a) em coordenadas cartesianas (x,y) e
(b) em coordenadas polares (r,θ).
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, para cada
fixo temos que
satisfaz
e ao mesmo tempo
Para existir região com
precisamos de
Passo 3
Portanto, em cada
a parte relevante está em
e em
. Mas, pela simetria, basta dobrar a integral para
. Para
temos
Passo 4
A área em coordenadas cartesianas fica então
Passo 5
Em coordenadas polares usamos
logo
e
Além disso precisamos de
, ou seja
Passo 6
A área em coordenadas polares é
Resposta
(a)
(b)