Calcule a área da região:
delimitada pelas curvas y=x^{2}-7 x+12; y=x e y=-2 x+8

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^{2} - 7x + 12, y = x e y = -2x + 8.
O conteúdo envolvido é cálculo de área por integrais definidas, o que exige:
  1. Encontrar os pontos de interseção entre as curvas.
  2. Identificar qual segmento de cada curva forma a fronteira da região fechada.
  3. Montar integrais do tipo “topo – fundo” em termos de x.

Passo 2

Vamos achar as interseções:
– Entre y = x^{2}-7x+12 e y = x:
x = x^{2}-7x+12 \;\Longrightarrow\; x^{2}-8x+12=0 \;\Longrightarrow\; x=2\;\text{ou}\;x=6.
Isso dá os pontos (2,2) e (6,6).
– Entre y = x^{2}-7x+12 e y = -2x+8:
-2x+8 = x^{2}-7x+12 \;\Longrightarrow\; x^{2}-5x+4=0 \;\Longrightarrow\; x=1\;\text{ou}\;x=4.
Isso dá (1,6) e (4,0).
– Entre y = x e y = -2x+8:
x = -2x+8 \;\Longrightarrow\; 3x=8 \;\Longrightarrow\; x=\tfrac{8}{3},
logo o ponto \bigl(\tfrac{8}{3},\tfrac{8}{3}\bigr).

Passo 3

O único laço fechado que envolve as três curvas usa os pontos (2,2) e (4,0) na parábola, e o ponto de cruzamento das retas \bigl(\tfrac{8}{3},\tfrac{8}{3}\bigr).
No intervalo 2\le x\le \tfrac{8}{3}: a fronteira superior é y=x e a inferior é y=x^{2}-7x+12.
No intervalo \tfrac{8}{3}\le x\le4: a fronteira superior é y=-2x+8 e a inferior continua sendo y=x^{2}-7x+12.

Passo 4

A área A é a soma de dois integrais:
A =\int_{2}^{8/3}\bigl[x - (x^{2}-7x+12)\bigr]\,dx +\int_{8/3}^{4}\bigl[(-2x+8)-(x^{2}-7x+12)\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculemos o primeiro integral. O integrando é
x - (x^{2}-7x+12) = -x^{2}+8x-12.
Uma primitiva é
F_{1}(x) = -\tfrac{1}{3}x^{3} +4x^{2} -12x.
Logo
\int_{2}^{8/3}(-x^{2}+8x-12)\,dx = F_{1}\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)-F_{1}(2) = \frac{64}{81}.

Passo 6

No segundo integral o integrando é
(-2x+8)-(x^{2}-7x+12) = -x^{2}+5x-4.
Uma primitiva é
F_{2}(x) = -\tfrac{1}{3}x^{3} +\tfrac{5}{2}x^{2} -4x.
Portanto
\int_{8/3}^{4}(-x^{2}+5x-4)\,dx = F_{2}(4)-F_{2}\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr) = \frac{152}{81}.

Passo 7

Somando as duas parcelas,
A = \frac{64}{81} + \frac{152}{81} = \frac{216}{81} = \frac{8}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{8}{3}.

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