Calcule a área da região:
delimitada pelas curvas
;
e
delimitada pelas curvas
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
O conteúdo envolvido é cálculo de área por integrais definidas, o que exige:
O conteúdo envolvido é cálculo de área por integrais definidas, o que exige:
- Encontrar os pontos de interseção entre as curvas.
- Identificar qual segmento de cada curva forma a fronteira da região fechada.
- Montar integrais do tipo “topo – fundo” em termos de
.
Passo 2
Vamos achar as interseções:
– Entre e
:
– Entre
Isso dá os pontos
e
.
– Entre
e
:
Isso dá
e
.
– Entre
e
:
logo o ponto
.
Passo 3
O único laço fechado que envolve as três curvas usa os pontos
e
na parábola, e o ponto de cruzamento das retas
.
No intervalo : a fronteira superior é
e a inferior é
.
No intervalo : a fronteira superior é
e a inferior continua sendo
.
No intervalo
No intervalo
Passo 4
A área
é a soma de dois integrais:
Passo 5
Calculemos o primeiro integral. O integrando é
Uma primitiva é
Logo
Passo 6
No segundo integral o integrando é
Uma primitiva é
Portanto
Passo 7
Somando as duas parcelas,
Resposta
A área da região é
.