Calcule a área da região:
delimitada pelas curvas y^{2}-4=x, y=\sqrt{2 x+8}, x=4 acima do eixo \circ x

Passo 1

O enunciado pede a área da região acima do eixo x delimitada pelas três curvas
x = y^{2} - 4, \quad y = \sqrt{2x + 8}, \quad x = 4.
O método será usar integração em relação a y, calculando
\text{área} = \int (x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}})\,dy.á

Passo 2

Precisamos dos pontos de interseção acima de y=0.
  1. Entre x = y^{2}-4 e y=\sqrt{2x+8}: substituindo x=y^{2}-4 em y=\sqrt{2x+8}
y = \sqrt{2(y^{2}-4)+8} = \sqrt{2y^{2}} = \sqrt{2}\,y,
como y\ge0 segue y=0. Então as duas curvas só se tocam em (-4,0).
2. Entre x = y^{2}-4 e x=4: impondo y^{2}-4=4 obtém-se y^{2}=8, logo
y = 2\sqrt{2}.
  1. Entre y=\sqrt{2x+8} e x=4: em x=4 vem
y = \sqrt{2\cdot4+8} = 4.

Passo 3

Para cada y a região vai de uma curva à outra até a reta x=4. Note que até y=2\sqrt{2} a curva de direita é x=y^{2}-4, depois disso a reta x=4 é a fronteira direita. Já a fronteira esquerda é sempre a inversa de y=\sqrt{2x+8}, ou seja
x = \frac{y^{2}}{2} - 4.
Assim dividimos em dois trechos:
  1. 0 \le y \le 2\sqrt{2}:
    x_{\text{esq}} = \tfrac{y^{2}}{2} - 4,\quad x_{\text{dir}} = y^{2}-4.
  2. 2\sqrt{2} \le y \le 4:
    x_{\text{esq}} = \tfrac{y^{2}}{2} - 4,\quad x_{\text{dir}} = 4.

Passo 4

Cálculo da área no primeiro trecho:
\int_{0}^{2\sqrt{2}}\Bigl[(y^{2}-4)-\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}-4\bigr)\Bigr]dy =\int_{0}^{2\sqrt{2}}\frac{y^{2}}{2}\,dy =\frac{1}{2}\,\frac{y^{3}}{3}\Big\vert_{0}^{2\sqrt{2}} =\frac{1}{6}\,(2\sqrt{2})^{3} =\frac{16\sqrt{2}}{6} =\frac{8\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Cálculo da área no segundo trecho:
\int_{2\sqrt{2}}^{4}\Bigl[4-\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}-4\bigr)\Bigr]dy =\int_{2\sqrt{2}}^{4}\bigl(8-\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)dy =\Bigl[8y-\frac{y^{3}}{6}\Bigr]_{2\sqrt{2}}^{4}.
Avalia-se em y=4:
8\cdot4-\frac{4^{3}}{6} =32-\frac{64}{6} =\frac{64}{3},
e em y=2\sqrt{2}:
8\cdot2\sqrt{2}-\frac{(2\sqrt{2})^{3}}{6} =16\sqrt{2}-\frac{16\sqrt{2}}{6} =\frac{80\sqrt{2}}{6} =\frac{40\sqrt{2}}{3}.
Logo a segunda área é
\frac{64}{3}-\frac{40\sqrt{2}}{3} =\frac{64-40\sqrt{2}}{3}.

Passo 6

Somando as duas partes:
\frac{8\sqrt{2}}{3} \;+\;\frac{64-40\sqrt{2}}{3} =\frac{64 +8\sqrt{2}-40\sqrt{2}}{3} =\frac{64-32\sqrt{2}}{3} =\frac{32\,(2-\sqrt{2})}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{64-32\sqrt{2}}{3}.

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