Encontre a sequência \left\{s_{N}\right\}_{N=1}^{+\infty} das somas parciais da série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}. Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} for convergente, calcule a sua soma.
(b) a_{n}=\frac{1}{n(n+1)};

Passo 1

O enunciado pede para determinar as somas parciais \{s_{N}\}_{N=1}^{\infty}
da série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
com \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}
e, se convergente, calcular sua soma. Vamos usar o desdobramento em frações parciais e o efeito telescópico.

Passo 2

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1), vem
1 = A(n+1) + Bn = (A+B)\,n + A.
Igualando coeficientes em n e termo constante, obtemos
A+B = 0,\quad A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=1,\;B=-1.
Logo,
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

A soma parcial até N é
s_{N} = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\Bigr).
Ao escrever os primeiros termos, ocorre cancelamento em cascata (telescoping):
s_{N} = \Bigl(1 - \tfrac12\Bigr) + \Bigl(\tfrac12 - \tfrac13\Bigr) + \cdots + \Bigl(\tfrac1N - \tfrac1{N+1}\Bigr) = 1 - \frac{1}{N+1} = \frac{N}{N+1}.

Passo 4

Para verificar a convergência, calculamos
\lim_{N\to\infty} s_{N} = \lim_{N\to\infty}\frac{N}{N+1} = 1.
Portanto, a série converge e sua soma é 1.

Resposta

s_{N} = \dfrac{N}{N+1}.
A soma da série é 1.

Exercícios relacionados