Encontre a sequência
das somas parciais da série
. Se
for convergente, calcule a sua soma.
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar as somas parciais
da série
com
e, se convergente, calcular sua soma. Vamos usar o desdobramento em frações parciais e o efeito telescópico.
da série
com
e, se convergente, calcular sua soma. Vamos usar o desdobramento em frações parciais e o efeito telescópico.
Passo 2
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, vem
Igualando coeficientes em
e termo constante, obtemos
Logo,
Passo 3
A soma parcial até
é
Ao escrever os primeiros termos, ocorre cancelamento em cascata (telescoping):
Passo 4
Para verificar a convergência, calculamos
Portanto, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A soma da série é