Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=u^2-v^2 y=2 u v.

Passo 1

Vamos lá: o enunciado dá a transformação
x = u^2 - v^2, y = 2,u,v
A tarefa é achar (i) a matriz jacobiana, que reúne as derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v), e (ii) o jacobiano, que é o determinante dessa matriz.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial xpartial u = 2u, partial xpartial v = -2v,
partial ypartial u = 2v, partial ypartial v = 2u
Assim, a matriz jacobiana fica
J = 2u & -2v 2v & 2u

Passo 3

O jacobiano é o determinante de J:
det J = (2u)(2u) - (-2v)(2v) = 4u^2 + 4v^2 = 4,(u^2 + v^2)

Resposta

A matriz jacobiana é
2u & -2v 2v & 2u ,
e o jacobiano (determinante) é
4,(u^2 + v^2)

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