Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
x^2(1-x)^2 y^prime prime+2 x y^prime prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^2(1-x)^2y''+2x,y'+4y=0
e pede os pontos singulares — isto é, os x0 em que o coeficiente de y'' se anula — e sua classificação em regular ou irregular. Para isso, precisamos escrever a equação na forma padrão
y''+A(x),y'+B(x),y=0
e usar que um ponto x0 é singular regular se (x-x0)A(x) e (x-x0)^2B(x) forem analíticas em x0; caso contrário é singular irregular.

Passo 2

Dividindo a EDO por x^2(1-x)^2 obtemos
y''+underbrace2xx^2(1-x)^2A(x),y' +underbrace4x^2(1-x)^2B(x),y=0

Passo 3

Os potenciais pontos singulares são as raízes do denominador de A(x) e B(x), isto é,
x^2(1-x)^2=0 Longrightarrow x=0e x=1

Passo 4

Verificação em x=0:
x,A(x) =2xx(1-x)^2 =2(1-x)^2,
que é analítica em x=0, e
x^2B(x) =4x^2x^2(1-x)^2 =4(1-x)^2,
que também é analítica em x=0. Logo x=0 é singular regular.

Passo 5

Verificação em x=1: seja t=x-1. Então
t cdot A(x) = (x-1) 2xx^2(1-x)^2 = 2xx^2t = 2x cdot t,
que tem polo de ordem 1 em t=0 (i.e.\ não é analítico). Embora
t^2 B(x) = (x-1)^2 4x^2(1-x)^2 = 4x^2
seja analítico em x=1, basta a falha em t cdot A(x) para tornar x=1 um ponto singular irregular.

Resposta

Os pontos singulares são
x=0(singular regular), x=1(singular irregular)

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