Mostre se a série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries de termos positivos, e precisaremos interpretar a soma como uma integral imprópria.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que
e que
é monótona decrescente para
, pois, ao derivar,
Logo, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Pelo teste da integral, a série
converge ou diverge conforme converge ou diverge a integral imprópria
Fazemos a troca de variável
, de forma que
. Quando
,
; quando
,
. A integral torna-se
Passo 4
Calculamos a integral em
:
Portanto, a integral diverge.
Passo 5
Como a integral associada diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.