Mostre se a série converge ou diverge:
sumk=2^infty 1k raizln k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=2^infty 1k raizln k
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries de termos positivos, e precisaremos interpretar a soma como uma integral imprópria.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1x raizln x,
para x>=2. Observamos que f(x)>0 e que f é monótona decrescente para x>=2, pois, ao derivar,
f'(x) = -1x^2raizln x -12,1x^2(ln x)^3/2 <0
Logo, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Pelo teste da integral, a série sumk=2^inftyf(k) converge ou diverge conforme converge ou diverge a integral imprópria
integral2^infty 1x raizln x ,dx
Fazemos a troca de variável t = ln x, de forma que dt = tfrac1x,dx. Quando x=2, t=ln2; quando xtoinfty, ttoinfty. A integral torna-se
integralln2^infty 1raizt,dt

Passo 4

Calculamos a integral em t:
integralln2^infty t^-1/2,dt = [ 2,t^1/2 ]t=ln2^ttoinfty = limTtoinfty l(2raizT - 2raizln2r) = infty
Portanto, a integral diverge.

Passo 5

Como a integral associada diverge, pelo teste da integral a série
sumk=2^infty 1k raizln k
também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados