Com relação ao problema de valor inicial t y^prime+2 y=sen(t) / t, y(pi)=0; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: mu(t)=t^-2 ; y(t)=sen(t) / t^2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t,y' + 2,y = sin(t)t,
com condição inicial y(pi)=0.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, em que precisamos passar para a forma padrão
y' + p(t),y = q(t)
para encontrar o fator integrante mu(t) e depois integrar.

Passo 2

Dividindo tudo por t (assumindo tneq0), obtemos
y' + 2t,y = sin(t)t^2
Aqui p(t)=2/t. O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 2t,dtr) = expl(2ln tr) = t^2

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^2 temos
t^2y' + 2t,y = sin(t) Longrightarrow ddtl(t^2yr) = sin(t)
Integrando em t:
t^2y = integral sin(t),dt + C = -cos(t) + C
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y = -cos(t) + Ct^2

Passo 4

Impondo y(pi)=0:
0 = -cos(pi) + Cpi^2 ;Longrightarrow; -l(-1r) + C = 0 ;Longrightarrow; C = -1
Assim
y(t) = -cos(t) - 1t^2 = -cos(t)+1t^2

Resposta

O fator integrante correto é mu(t)=t^2 e a solução do PVI é
y(t) = -cos(t)+1t^2
Portanto a afirmação mu(t)=t^-2 e y(t)=sin(t)/t^2 está incorreta.

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