Em cada item, encontre a matriz A :
2 A-\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 4 & 7 & 3\end{array}\right]^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ -3 & 4 \\\\ 0 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz A que satisfaz a equação
2A-\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\[4pt] 4 & 7 & 3\end{array}\right]^{\!t} = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \\[4pt] 0 & 8\end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz a ser transposta é \displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\[4pt] 4 & 7 & 3\end{array}\right] (tem dimensão 2\times3).
  • A matriz à direita da igualdade é \displaystyle \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \\[4pt] 0 & 8\end{array}\right] (tem dimensão 3\times2).
  • A incógnita A deve ter dimensão compatível com a soma/subtração (ou seja, 3\times2).]

Passo 2

Calcular a transposta da matriz dada. Lembrando: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas (o elemento da linha i, coluna j vai para a linha j, coluna i). Aplicando:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\[4pt] 4 & 7 & 3\end{array}\right]^{\!t} = \left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\[4pt] 0 & 7 \\[4pt] -2 & 3\end{array}\right].]

Passo 3

Isolar A na equação. Partindo de
2A-\left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\[4pt] 0 & 7 \\[4pt] -2 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \\[4pt] 0 & 8\end{array}\right],
somamos a transposta em ambos os lados para obter
2A = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \\[4pt] 0 & 8\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\[4pt] 0 & 7 \\[4pt] -2 & 3\end{array}\right].
Em seguida, dividimos por 2 (multiplicação por escalar):
A=\tfrac{1}{2}\Biggl( \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \\[4pt] 0 & 8\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\[4pt] 0 & 7 \\[4pt] -2 & 3\end{array}\right] \Biggr).
Observação didática rápida: soma de matrizes é feita elemento a elemento e multiplicação por escalar multiplica cada entrada.]

Passo 4

Somar as duas matrizes dentro do parêntese elemento a elemento:
  • Primeira linha: \bigl[2+1,\;0+4\bigr]=[3,\;4].
  • Segunda linha: \bigl[-3+0,\;4+7\bigr]=[-3,\;11].
  • Terceira linha: \bigl[0+(-2),\;8+3\bigr]=[-2,\;11].
Logo
\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] -3 & 4 \\[4pt] 0 & 8\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\[4pt] 0 & 7 \\[4pt] -2 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\[4pt] -3 & 11 \\[4pt] -2 & 11\end{array}\right].]

Passo 5

Agora multiplicar por \tfrac{1}{2} cada entrada (escala aplicável a toda a matriz):
  • Primeira linha: \bigl[\tfrac{3}{2},\;2\bigr].
  • Segunda linha: \bigl[-\tfrac{3}{2},\;\tfrac{11}{2}\bigr].
  • Terceira linha: \bigl[-1,\;\tfrac{11}{2}\bigr].
Portanto
A=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{3}{2} & 2 \\[6pt] -\tfrac{3}{2} & \tfrac{11}{2} \\[6pt] -1 & \tfrac{11}{2}\end{array}\right].]

Resposta

A=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{3}{2} & 2 \\[6pt] -\tfrac{3}{2} & \tfrac{11}{2} \\[6pt] -1 & \tfrac{11}{2}\end{array}\right]]

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