Em cada um dos itens abaixo, encontre a matriz
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a matriz
tal que
Informações dadas:
- Está dada a matriz
, que é a matriz . - Queremos determinar a matriz
(assumimos que é invertível, pois existe).]
Passo 2
Propriedade útil (explicação didática):
- Se
é um escalar não zero e é uma matriz invertível, vale
Por quê? Porque
, logo
é a inversa de
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso
:
Como sabemos
, podemos isolar
:
Passo 4
Agora precisamos encontrar
a partir de
. Para inverter uma matriz
use a fórmula (explicando cada termo):
Se
Se
então seu determinante é
. Se
, a inversa é
Aqui
são as entradas de
(linha 1 coluna 1 é
, etc.). A fórmula vem de exigir
e resolvê-la; ela é prática para
.
Passo 5
Aplique a fórmula ao nosso caso
.
Identificando ,
,
,
.
Calcule o determinante:
Identificando
Calcule o determinante:
Como
, a inversa existe (óbvio, já que é
).
Passo 6
Calcule
pela fórmula:
Fazendo as divisões:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para aparecer confiante): multiplicando
obtemos
e de fato a inversa dessa matriz dada é ela própria (pode-se checar que
), então tudo é consistente com os cálculos acima.