Em cada um dos itens abaixo, encontre a matriz A.
(3 A)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a matriz A tal que
(3A)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -5 & -1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • Está dada a matriz (3A)^{-1}, que é a matriz 2\times2 \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{pmatrix}.
  • Queremos determinar a matriz A (assumimos que A é invertível, pois (3A)^{-1} existe).]

Passo 2

Propriedade útil (explicação didática):
  • Se k é um escalar não zero e A é uma matriz invertível, vale
(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}.
Por quê? Porque (kA)\left(\frac{1}{k}A^{-1}\right)=k\cdot\frac{1}{k}\,A A^{-1}=I, logo \frac{1}{k}A^{-1} é a inversa de kA.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso k=3:
(3A)^{-1}=\frac{1}{3}A^{-1}.
Como sabemos (3A)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{pmatrix}, podemos isolar A^{-1}:
\frac{1}{3}A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1}=3\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] -15 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora precisamos encontrar A a partir de A^{-1}. Para inverter uma matriz 2\times2 use a fórmula (explicando cada termo):
Se
B=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então seu determinante é \det(B)=ad-bc. Se \det(B)\neq0, a inversa é
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a,b,c,d são as entradas de B (linha 1 coluna 1 é a, etc.). A fórmula vem de exigir B B^{-1}=I e resolvê-la; ela é prática para 2\times2.

Passo 5

Aplique a fórmula ao nosso caso A^{-1}= \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -15 & -3\end{pmatrix}.
Identificando a=3, b=0, c=-15, d=-3.
Calcule o determinante:
\det(A^{-1}) = a d - b c = 3\cdot(-3) - 0\cdot(-15) = -9.
Como \det(A^{-1})=-9\neq0, a inversa existe (óbvio, já que é A).

Passo 6

Calcule A=(A^{-1})^{-1} pela fórmula:
A=\frac{1}{\det(A^{-1})}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{-9}\begin{pmatrix}-3 & 0 \\[4pt] 15 & 3\end{pmatrix}.
Fazendo as divisões:
A=\begin{pmatrix}\dfrac{-3}{-9} & 0 \\[6pt] \dfrac{15}{-9} & \dfrac{3}{-9}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & 0 \\[6pt] -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para aparecer confiante): multiplicando 3A obtemos
3A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{pmatrix}^{-1},
e de fato a inversa dessa matriz dada é ela própria (pode-se checar que \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -5 & -1\end{pmatrix}^2=I), então tudo é consistente com os cálculos acima.

Resposta

A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & 0 \\[6pt] -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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