Encontre a matriz C que satisfaz
\left(\left(C\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\right)^{\mathrm{t}}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & -3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right]
(Aqui, A^{\mathrm{t}} denota a transposta da matriz A.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz C que satisfaz a igualdade
\left(\left(C\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\right)^{\mathrm{t}}\right)^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & -3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right].
Lista das informações dadas (peguei todas do enunciado):
  • A matriz M=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\[2pt] 0 & 1 & 0 \\[2pt] 0 & 0 & 1\end{array}\right].
  • O vetor coluna u=\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{array}\right] e o vetor linha v^{\!T}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right]; portanto u v^{\!T} é o produto externo.
  • A matriz à direita (vou chamá‑la de G) é
G=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & -3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right].
O que é pedido: determinar explicitamente a matriz C.]

Passo 2

Manipulação algébrica básica da equação para isolar C. Começando de
\left(\left(CM - u v^{\!T}\right)^{\!T}\right)^{-1}=G.
Aplicando a inversa em ambos os lados obtemos
\left(CM - u v^{\!T}\right)^{\!T}=G^{-1},
e então transpondo ambos os lados (uso a propriedade \big(A^{\!T}\big)^{\!T}=A) resulta
CM - u v^{\!T}=(G^{-1})^{\!T}.
Isolando C:
CM=(G^{-1})^{\!T}+u v^{\!T},
e finalmente, multiplicando à direita por M^{-1} (assumindo M invertível),
C=\big((G^{-1})^{\!T}+u v^{\!T}\big)M^{-1}.
Logo o problema reduz-se a calcular G^{-1}, transpor, somar u v^{\!T} e multiplicar por M^{-1}.

Passo 3

Calcular G^{-1}. Primeiro o determinante de G:
\det(G)=1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-3 & -1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}-2\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}+0
=1\cdot(9-(-1))-2\cdot(3-(-1))=10-2\cdot4=10-8=2.
Como \det(G)=2\neq0, G é inversível. Agora calculo a matriz dos cofatores (mostrando os menores e sinais):
  • Cofator C_{11}=\det\!\begin{pmatrix}-3 & -1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=10.
  • Cofator C_{12}=-\det\!\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=-4.
  • Cofator C_{13}=+\det\!\begin{pmatrix}-1 & -3\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=2.
  • Cofator C_{21}=-\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=6.
  • Cofator C_{22}=+\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix}=-3.
  • Cofator C_{23}=-\det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=1.
  • Cofator C_{31}=+\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]-3 & -1\end{pmatrix}=-2.
  • Cofator C_{32}=-\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]-1 & -1\end{pmatrix}=1.
  • Cofator C_{33}=+\det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-1 & -3\end{pmatrix}=-1.
A matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} 10 & -4 & 2\\[2pt] 6 & -3 & 1\\[2pt] -2 & 1 & -1 \end{pmatrix},
então a adjunta (adjugate) é a transposta dessa:
\operatorname{adj}(G)=\begin{pmatrix} 10 & 6 & -2\\[2pt] -4 & -3 & 1\\[2pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Logo
G^{-1}=\frac{1}{\det(G)}\operatorname{adj}(G)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 10 & 6 & -2\\[2pt] -4 & -3 & 1\\[2pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Posso escrever isso como
G^{-1}=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -1\\[2pt] -2 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[2pt] 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Transponho G^{-1}:
(G^{-1})^{\!T}=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 1\\[2pt] 3 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[2pt] -1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo o produto externo u v^{\!T}. Com u=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right] e v^{\!T}=\left[\begin{smallmatrix}1 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right],
u v^{\!T}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 0\\[2pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Somando (G^{-1})^{\!T} e u v^{\!T}:
(G^{-1})^{\!T}+u v^{\!T}= \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1\\[2pt] 3 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[2pt] -1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 0\\[2pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 2\\[2pt] 3 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[2pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Denoto essa soma por S:
S=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 2\\[2pt] 3 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[2pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculo M^{-1}. A matriz M é triangular superior com 1s na diagonal e entrada 2 em (1,2); a inversa é a cisalha correspondente:
M^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois \begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}=I.]

Passo 8

Multiplico C = S M^{-1}. Faço a multiplicação coluna a coluna (usando que as colunas de M^{-1} são [1,0,0]^T,\;[-2,1,0]^T,\;[0,0,1]^T).
  • Primeira coluna de C: é a primeira coluna de S:
\begin{pmatrix}6\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de C: é -2 vezes a primeira coluna de S mais a segunda coluna de S:
-2\begin{pmatrix}6\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\[2pt]-\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12-2\\[2pt]-6-\tfrac{3}{2}\\[2pt]0+\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-14\\[2pt]-\tfrac{15}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Terceira coluna de C: é simplesmente a terceira coluna de S:
\begin{pmatrix}2\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Portanto
C=\begin{pmatrix} 6 & -14 & 2\\[4pt] 3 & -\tfrac{15}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação rápida (rápida e conceitual): calculando CM com a C acima obtém‑se exatamente a matriz S do Passo 6, e portanto CM-u v^{\!T}=(G^{-1})^{\!T}. Transpondo e invertendo recupera‑se G, confirmando que o C encontrado satisfaz a equação original.

Resposta

C=\begin{pmatrix} 6 & -14 & 2\\[4pt] 3 & -\tfrac{15}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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