Determine a inversa de cada uma das matrizes seguintes:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 8 & -3 \\\\ 1 & 7 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 5 & 2 & -3 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 5 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & -2 \\\\ 1 & 4 & -2 & 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & 5 & 1 \\\\ 3 & 5 & 7 & 1 \\\\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a inversa de cada uma das matrizes listadas. As matrizes dadas são (escrevo-as para referência; peguei-as do enunciado):
A_1=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 8 & -3 \\\\ 1 & 7 & 1 \end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 5 & 2 & -3 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix},
A_4=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad A_5=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & -2 \\\\ 1 & 4 & -2 & 4 \end{pmatrix},\quad A_6=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & 5 & 1 \\\\ 3 & 5 & 7 & 1 \\\\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}.
O que se pede para cada uma é encontrar \,A_i^{-1} (quando existir). A resolução segue usando eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares sobre a matriz aumentada [A_i\mid I].

Passo 2

Breve explicação do método usado (Gauss-Jordan) — passo a passo pedagógico e motivador.
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada [A\mid I] em [I\mid A^{-1}] usando apenas operações elementares de linha: troca de duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar a múltipla de uma linha a outra.
  • Por que funciona: operações elementares correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares invertíveis; aplicar uma sequência que transforma A em I efetivamente multiplica A por alguma matriz E tal que EA=I, portanto E=A^{-1}. Ao aplicar essas operações igualmente à matriz identidade do lado direito, obtemos E.
  • Convenção prática: denotar linhas por R_1,R_2,\dots; escrever operações como R_i\leftarrow R_i + kR_j etc. Vou mostrar todas as operações, sem pular etapas, para que dê para reproduzir à mão na prova.
Agora vamos aplicar o método a cada matriz, uma por uma.

Passo 3

Inversa de \,A_1=\begin{pmatrix}1&3&-2\\[4pt]2&8&-3\\[4pt]1&7&1\end{pmatrix}.
Montamos a matriz aumentada [A_1\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 8 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 7 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações (vou justificar cada passo):
  1. Eliminar abaixo de a_{11}: R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar a_{32} usando R_2: R_3\leftarrow R_3-2R_2.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & 1 \end{array}\right].
  1. Tornar R_3 pivô e eliminar acima: usar R_3 para zerar as entradas na coluna 3 em R_1,R_2.
  • R_1\leftarrow R_1+2R_3.
  • R_2\leftarrow R_2-R_3.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 0 & 7 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -5 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & 1 \end{array}\right].
  1. Normalizar R_2: R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2.
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 0 & 7 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar a_{12} com R_1\leftarrow R_1-3R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{29}{2} & -\tfrac{17}{2} & \tfrac{7}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & 1 \end{array}\right].
Agora [I\mid A_1^{-1}] está obtido. Portanto
A_1^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{29}{2} & -\tfrac{17}{2} & \tfrac{7}{2}\\[4pt] -\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Inversa de \,A_2=\begin{pmatrix}2&1&-1\\[4pt]5&2&-3\\[4pt]0&2&1\end{pmatrix}.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 5 & 2 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações:
  1. Tentar eliminar com inteiros para evitar frações desnecessárias: R_2\leftarrow R_2-2R_1 (pois 5-2\cdot2=1).
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Trocar R_1 e R_2 para ter um pivô 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar a_{21}: R_2\leftarrow R_2-2R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar a_{32}: R_3\leftarrow R_3-2R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -10 & 4 & 1 \end{array}\right].
  1. Normalizar R_3 multiplicando por -1: R_3\leftarrow -R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 10 & -4 & -1 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 3 acima: R_1\leftarrow R_1+R_3, R_2\leftarrow R_2-R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 8 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -5 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 10 & -4 & -1 \end{array}\right].
Logo
A_2^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & -3 & -1\\[4pt] -5 & 2 & 1\\[4pt] 10 & -4 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Inversa de \,A_3=\begin{pmatrix}1&-2&0\\[4pt]2&-3&1\\[4pt]1&1&5\end{pmatrix}.
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações:
  1. R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 5 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. R_3\leftarrow R_3-3R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 5 & -3 & 1 \end{array}\right].
  1. R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 3 em R_2,R_1: R_2\leftarrow R_2-R_3, R_1\leftarrow R_1+2R_2 (note a ordem: primeiro ajustar R_2, depois R_1).
    Primeiro R_2\leftarrow R_2-R_3:
R_2: \;[0\;1\;0\mid -\tfrac{9}{2}\;\tfrac{5}{2}\;-\tfrac{1}{2}]
Agora R_1\leftarrow R_1+2R_2:
R_1: \;[1\;0\;0\mid -8\;5\;-1].
Assim obtemos a forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -8 & 5 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{9}{2} & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Portanto
A_3^{-1}=\begin{pmatrix} -8 & 5 & -1\\[4pt] -\tfrac{9}{2} & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Inversa de \,A_4=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\[4pt]0&1&1&1\\[4pt]0&0&1&1\\[4pt]0&0&0&1\end{pmatrix}.
Observação rápida: A_4 é triangular superior com todos os elementos acima (e na) diagonal iguais a 1. Podemos fazer Gauss-Jordan de baixo para cima (back substitution). Montamos [A_4\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Eliminação de cima para baixo começando pela última linha:
  1. R_3\leftarrow R_3-R_4.
  2. R_2\leftarrow R_2-R_3.
  3. R_1\leftarrow R_1-R_3 e depois R_1\leftarrow R_1-R_4, etc. Executando sistematicamente obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Logo
A_4^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Inversa de \,A_5=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 1 & 4 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 4 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações (detalhadas):
  1. R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. R_3\leftarrow R_3-R_2 e R_4\leftarrow R_4-2R_2:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. R_4\leftarrow R_4+R_3 to eliminate column 3 in R_4:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & 1 & 1 \end{array}\right].
  1. R_4\leftarrow -R_4 to get pivot 1 in R_4:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & -1 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 4 nas outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1-0\cdot R_4 (já tem 0),
  • R_2\leftarrow R_2-1\cdot R_4,
  • R_3\leftarrow R_3+3\cdot R_4.
    Depois de usar R_4:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & -2 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 5 & 8 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & -1 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 3 em R_1 e R_2 usando R_3:
  • R_1\leftarrow R_1-R_3,
  • R_2\leftarrow R_2+R_3.
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & -4 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 6 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 5 & 8 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & -1 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 2 em R_1: R_1\leftarrow R_1-2R_2:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -10 & -20 & 4 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 6 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 5 & 8 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & -1 \end{array}\right].
Portanto
A_5^{-1}=\begin{pmatrix} -10 & -20 & 4 & 7\\[4pt] 3 & 6 & -1 & -2\\[4pt] 5 & 8 & -2 & -3\\[4pt] 2 & 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Inversa de \,A_6=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 5 & 1\\[4pt] 3 & 5 & 7 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 5 & 7 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 5 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações (detalhadas e justificadas):
  1. Eliminar primeiro coluna em R_2,R_3,R_4 usando R_1:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1,
  • R_3\leftarrow R_3-3R_1,
  • R_4\leftarrow R_4-R_1.
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -3 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Tornar R_2 com pivô 1: R_2\leftarrow -R_2:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 2 em R_3,R_4,R_1:
  • R_3\leftarrow R_3+R_2,
  • R_4\leftarrow R_4+R_2,
  • R_1\leftarrow R_1-2R_2.
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & -4 & -3 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 5 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Tornar R_3 positivo: R_3\leftarrow -R_3:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & -4 & -3 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 5 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 3 em R_4,R_1,R_2:
  • R_4\leftarrow R_4-3R_3,
  • R_1\leftarrow R_1-R_3,
  • R_2\leftarrow R_2-R_3.
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -6 & -4 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -4 & 3 & 1 \end{array}\right].
  1. R_4\leftarrow -R_4 para pivô positivo e em seguida eliminar coluna 4 nas outras linhas:
R_4\leftarrow -R_4 \Rightarrow R_4=[0\;0\;0\;1\mid 2\;4\;-3\;-1].
Agora:
  • R_1\leftarrow R_1+6R_4,
  • R_2\leftarrow R_2-R_4,
  • R_3\leftarrow R_3-2R_4.
    Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 8 & 25 & -17 & -6\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -6 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & -7 & 5 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & -3 & -1 \end{array}\right].
Portanto
A_6^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & 25 & -17 & -6\\[4pt] -1 & -6 & 4 & 1\\[4pt] -3 & -7 & 5 & 2\\[4pt] 2 & 4 & -3 & -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A_1^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{29}{2} & -\tfrac{17}{2} & \tfrac{7}{2}\\[4pt] -\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}
A_2^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & -3 & -1\\[4pt] -5 & 2 & 1\\[4pt] 10 & -4 & -1 \end{pmatrix}
A_3^{-1}=\begin{pmatrix} -8 & 5 & -1\\[4pt] -\tfrac{9}{2} & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
A_4^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
A_5^{-1}=\begin{pmatrix} -10 & -20 & 4 & 7\\[4pt] 3 & 6 & -1 & -2\\[4pt] 5 & 8 & -2 & -3\\[4pt] 2 & 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}
A_6^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & 25 & -17 & -6\\[4pt] -1 & -6 & 4 & 1\\[4pt] -3 & -7 & 5 & 2\\[4pt] 2 & 4 & -3 & -1 \end{pmatrix}]

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