Em cada item, encontre uma parametrização para a curva definida pela interseção das superfícies dadas.
x^2+y^2+z^2=16 e x=y.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção da esfera de raio 4
x^2+y^2+z^2=16
com o plano
x=y
Esse tipo de interseção é uma circunferência. Para parametrizá-la, vamos usar trigonometria após eliminar uma variável.

Passo 2

Como x=y, substituímos em x^2+y^2+z^2=16, o que dá
2x^2+z^2=16

Passo 3

A equação
2x^2+z^2=16
é uma elipse no plano x=y. Podemos pará-metrizar usando
x = Acos t, z = Bsin t,
e então impor y=x.

Passo 4

Para satisfazer 2x^2+z^2=16 temos
2A^2=16 Rightarrow A^2=8 Rightarrow A=2raiz2,
e
B^2=16 Rightarrow B=4

Passo 5

Concluímos a parametrização como
x(t)=2raiz2,cos t, y(t)=2raiz2,cos t, z(t)=4,sin t, tin[0,2pi)

Resposta

r(t)=l(2raiz2cos t,;2raiz2cos t,;4sin tr), tin[0,2pi)

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