Em cada item encontre A sabendo que:
(5 A^T)^-1=[cc -3 & -1 5 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar a matriz A sabendo que a inversa de 5 A^T é igual a uma matriz específica. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (5 A^T)^-1 . Isso quer dizer que estamos lidando com a inversa da matriz 5 A^T . Nosso objetivo é isolar A .

Passo 3

Sabemos que se B^-1 = C , então B = C^-1 . Aplicando isso aqui, temos:
5 A^T = [cc -3 & -1 5 & 2 ]^-1
Ou seja, 5 A^T é igual à inversa da matriz dada.

Passo 4

Vamos calcular a inversa da matriz [cc -3 & -1 5 & 2 ] . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 [cc a & b c & d ] é:
1ad - bc [cc d & -b -c & a ]
Aplicando os valores:
Determinante = (-3)(2) - (-1)(5) = -6 + 5 = -1
Então,
[cc -3 & -1 5 & 2 ]^-1 = 1-1 [cc 2 & 1 -5 & -3 ] = [cc -2 & -1 5 & 3 ]

Passo 5

Agora, sabemos que:
5 A^T = [cc -2 & -1 5 & 3 ]
Para encontrar A^T , dividimos ambos os lados por 5:
A^T = 15 [cc -2 & -1 5 & 3 ] = [cc -25 & -15 1 & 35 ]
Finalmente, tiramos a transposta para encontrar A :
A = [cc -25 & 1 -15 & 35 ]

Resposta

A matriz A é:
A = [cc -dfrac25 & 1 -dfrac15 & dfrac35 ]

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