Nos Exercícios 11 e 12, e são bases para um espaço vetorial . Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a.As colunas de são linearmente independentes.
b. Se e , então o escalonamento de até ] produz uma matriz que satisfaz para todo em .
Passo 1
O enunciado diz que e são bases de um espaço vetorial . Vamos usar o fato de que a matriz de mudança de base é sempre invertível e que, em , a operação de escalonamento de até obter equivale a multiplicar pela inversa de .
Passo 2
Para a afirmação (a): a matriz é exatamente a matriz de transformação que leva coordenadas em para coordenadas em . Sabemos que essa matriz é inversível (porque trocar de base é uma bijeção linear). E uma matriz inversível tem, necessariamente, suas colunas linearmente independentes.
Portanto, (a) é Verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação (b) no caso :
— Seja
Ao escalonar até , estamos efetivamente multiplicando pela inversa de . Logo
ou seja .
— Agora, para qualquer , se escrevemos
e também ,
temos
Mas a matriz que encontramos pelo escalonamento é , e não. Na verdade