Nos Exercícios 11 e 12, B e C são bases para um espaço vetorial V. Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a.As colunas de C B são linearmente independentes.
b. Se V=R^2, B=b1, b2 e C=c1, c2, então o escalonamento de [c1 c2 b1 b2] até [I P ] produz uma matriz P que satisfaz [x]B=P[x]C para todo x em V.

Passo 1

O enunciado diz que B e C são bases de um espaço vetorial V. Vamos usar o fato de que a matriz de mudança de base é sempre invertível e que, em R^2, a operação de escalonamento de [c1;c2;b1;b2] até obter [I;!P] equivale a multiplicar pela inversa de [c1;c2].

Passo 2

Para a afirmação (a): a matriz C B é exatamente a matriz de transformação que leva coordenadas em B para coordenadas em C. Sabemos que essa matriz é inversível (porque trocar de base é uma bijeção linear). E uma matriz inversível tem, necessariamente, suas colunas linearmente independentes.
Portanto, (a) é Verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação (b) no caso :
— Seja
Ao escalonar até , estamos efetivamente multiplicando pela inversa de . Logo
ou seja .
— Agora, para qualquer , se escrevemos

e também
,
temos
Mas a matriz que encontramos pelo escalonamento é , e não . Na verdade
e não .
Portanto, (b) é Falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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