Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que se B for uma matriz quadrada de ordem n satisfazendo A B=In então B=A^-1.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que
A,B = In
Queremos mostrar que B coincide com o inverso de A, isto é, B = A^-1. Para isso vamos usar conceitos de posto (rank) e a caracterização de matriz invertível por possuir posto máximo.

Passo 2

Da relação
segue
Mas em geral vale
logo necessariamente e . Portanto ambas as matrizes são invertíveis em .

Passo 3

Como B é invertível, multiplica-mos
A,B = In
à direita por B^-1, obtendo
A,(B,B^-1) = In,B^-1 Longrightarrow A = B^-1
Invertendo ambos os lados dá
A^-1 = (B^-1)^-1 = B

Resposta

B = A^-1

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