Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Mostre que se
for uma matriz quadrada de ordem
satisfazendo
então
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de ordem
tais que
Queremos mostrar que
coincide com o inverso de
, isto é,
. Para isso vamos usar conceitos de posto (rank) e a caracterização de matriz invertível por possuir posto máximo.
Passo 2
Da relação
segue
Mas em geral vale
logo necessariamente e . Portanto ambas as matrizes são invertíveis em
.
Passo 3
Como
é invertível, multiplica-mos
à direita por
, obtendo
Invertendo ambos os lados dá