Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[ cc1 & 0 -5 & 1\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
E=1 & 0 [-4pt] -5 & 1
é elementar. Para isso, vamos usar o conceito de matrizes elementares na álgebra linear.]

Passo 2

Matrizes elementares são exatamente aquelas que se obtêm ao aplicar uma única operação elementar de linhas à matriz identidade. Há três tipos de operações elementares de linhas em In:
1. trocar duas linhas,
2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
3. adicionar um múltiplo de uma linha a outra.

Passo 3

Comparemos E com a identidade de ordem 2:
I2 = 1 & 0 [-4pt]0 & 1
Note que
E = I2 + (-5),E21,
onde E21 é a matriz com 1 na posição (2,1) e zeros nos demais lugares. Isso significa que saindo de I2 aplicamos a operação de linha
R2 long<=ftarrow R2 + (-5),R1,
isto é, adicionamos -5 vezes a primeira linha à segunda.]

Passo 4

Como E resulta de uma única operação elementar de linhas em I2, concluímos que E é, de fato, uma matriz elementar.

Resposta

A matriz
1 & 0 [-4pt] -5 & 1
é elementar, pois corresponde à operação de linha R2 R2 - 5,R1 aplicada à matriz identidade.]

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