Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[
\right]
\left[
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é elementar. Para isso, vamos usar o conceito de matrizes elementares na álgebra linear.]
Passo 2
Matrizes elementares são exatamente aquelas que se obtêm ao aplicar uma única operação elementar de linhas à matriz identidade. Há três tipos de operações elementares de linhas em
:
. trocar duas linhas,
. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
. adicionar um múltiplo de uma linha a outra.
Passo 3
Comparemos
com a identidade de ordem
:
Note que
onde
é a matriz com
na posição
e zeros nos demais lugares. Isso significa que saindo de
aplicamos a operação de linha
isto é, adicionamos
vezes a primeira linha à segunda.]
Passo 4
Como
resulta de uma única operação elementar de linhas em
, concluímos que
é, de fato, uma matriz elementar.
Resposta
A matriz
é elementar, pois corresponde à operação de linha
aplicada à matriz identidade.]