Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 2y' = 3 + \operatorname{sen}(2x)
e pede: encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem.
  • Os coeficientes são constantes (1 para y'' e 2 para y').
  • O termo do lado direito (forçamento) é a soma de uma função constante 3 e de uma função trigonométrica \operatorname{sen}(2x).
  • Queremos a solução geral, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular qualquer (constantes arbitrárias devem aparecer).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea correspondente:
y'' + 2y' = 0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes usa-se a equação característica. Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx} e obtemos a equação característica:
r^2 + 2r = 0.
Agora resolvemos essa equação algébrica. Fatorando:
r(r+2)=0,
logo as raízes são r_1=0 e r_2=-2. Essas raízes geram a solução geral da homogênea:
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-2x}.
Simplificando e^{0\cdot x}=1, obtemos
y_h(x)=C_1 + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
(Comentário rápido sobre o porquê: cada raiz real distinta r da característica corresponde a uma solução e^{rx}; se uma raiz for zero isso gera uma solução constante, por isso aparece C_1.)

Passo 3

Escolher método para encontrar uma solução particular y_p. Como o lado direito é soma de termos simples (constante e seno), o método prático é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients): supõe-se uma forma para y_p semelhante ao forçamento, com coeficientes a ajustar.
Devemos tratar cada termo do forçamento separadamente e somar as partes particulares (linearidade). Assim procuraremos
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
onde y_{p1} resolve para o termo constante 3 e y_{p2} resolve para \operatorname{sen}(2x).

Passo 4

Encontrar y_{p1} para o termo constante 3.
  • Ideia: se o lado direito fosse uma constante, normalmente tentamos y_{p1}=A (constante). Mas atenção: y_h já contém uma constante C_1. Quando a forma candidata ao particular pertence ao espaço das soluções da homogênea, há ressonância e devemos multiplicar por x. Portanto, em vez de A tentamos
y_{p1}(x)=Ax.
  • Calcular derivadas:
y_{p1}'(x)=A,\qquad y_{p1}''(x)=0.
  • Substituir na equação:
y_{p1}'' + 2y_{p1}' = 0 + 2A = 2A.
Queremos que isso seja igual ao termo 3. Então
2A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{3}{2}.
Logo
y_{p1}(x)=\frac{3}{2}x.

Passo 5

Encontrar [y_{p2}) para o termo \operatorname{sen}(2x).
  • Forma candidata: para um forçamento do tipo \operatorname{sen}(\omega x) ou \cos(\omega x), tenta-se
y_{p2}(x)=a\cos(2x)+b\operatorname{sen}(2x),
com a,b constantes a determinar. (Não há ressonância com as raízes da característica, porque \pm 2i não são raízes; as raízes da característica são 0 e -2, reais.)
  • Calcular derivadas:
y_{p2}'(x) = -2a\operatorname{sen}(2x) + 2b\cos(2x),
y_{p2}''(x) = -4a\cos(2x) -4b\operatorname{sen}(2x).
  • Substituir na equação y''+2y'=\operatorname{sen}(2x):
\bigl(-4a\cos(2x)-4b\operatorname{sen}(2x)\bigr) + 2\bigl(-2a\operatorname{sen}(2x)+2b\cos(2x)\bigr) = \operatorname{sen}(2x).
  • Simplificar o lado esquerdo agrupando termos de \cos e \operatorname{sen}:
    Calcule os coeficientes:
    coeficiente de \cos(2x):
-4a + 4b.
coeficiente de \operatorname{sen}(2x):
-4b -4a = -4(a+b).
Então a igualdade fica
\bigl(-4a+4b\bigr)\cos(2x) + \bigl(-4a-4b\bigr)\operatorname{sen}(2x) = 0\cdot\cos(2x) + 1\cdot\operatorname{sen}(2x).
  • Igualando coeficientes (sistema):
\begin{cases} -4a + 4b = 0,\\[4pt] -4a -4b = 1. \end{cases}
  • Resolver o sistema. Da primeira equação 4b = 4a\] então \(b=a. Substituindo na segunda:
-4a -4a = 1 \quad\Rightarrow\quad -8a = 1 \quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{1}{8}.
Logo b=a=-\dfrac{1}{8}.
  • Portanto
y_{p2}(x)= -\frac{1}{8}\cos(2x) - \frac{1}{8}\operatorname{sen}(2x).]

Passo 6

Montar a solução particular total e a solução geral.
  • Soma das particulares:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\frac{3}{2}x -\frac{1}{8}\cos(2x) -\frac{1}{8}\operatorname{sen}(2x).
  • A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-2x} + \frac{3}{2}x -\frac{1}{8}\cos(2x) -\frac{1}{8}\operatorname{sen}(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se tivessem sido fornecidas).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{8}\cos(2x)-\dfrac{1}{8}\operatorname{sen}(2x)

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