Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar a solução geral
.
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial de segunda ordem.
- Os coeficientes são constantes (1 para
e para ). - O termo do lado direito (forçamento) é a soma de uma função constante
e de uma função trigonométrica . - Queremos a solução geral, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular qualquer (constantes arbitrárias devem aparecer).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea correspondente:
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes usa-se a equação característica. Assumimos uma solução do tipo
e obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação algébrica. Fatorando:
logo as raízes são
e
. Essas raízes geram a solução geral da homogênea:
Simplificando
, obtemos
onde
e
são constantes arbitrárias.
(Comentário rápido sobre o porquê: cada raiz real distinta
da característica corresponde a uma solução
; se uma raiz for zero isso gera uma solução constante, por isso aparece
.)
Passo 3
Escolher método para encontrar uma solução particular
. Como o lado direito é soma de termos simples (constante e seno), o método prático é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients): supõe-se uma forma para
semelhante ao forçamento, com coeficientes a ajustar.
Devemos tratar cada termo do forçamento separadamente e somar as partes particulares (linearidade). Assim procuraremos
onde
resolve para o termo constante
e
resolve para
.
Passo 4
Encontrar
para o termo constante
.
- Ideia: se o lado direito fosse uma constante, normalmente tentamos
(constante). Mas atenção: já contém uma constante . Quando a forma candidata ao particular pertence ao espaço das soluções da homogênea, há ressonância e devemos multiplicar por . Portanto, em vez de tentamos
- Calcular derivadas:
- Substituir na equação:
Queremos que isso seja igual ao termo
. Então
Logo
Passo 5
Encontrar [y_{p2}) para o termo
.
- Forma candidata: para um forçamento do tipo
ou , tenta-se
com
constantes a determinar. (Não há ressonância com as raízes da característica, porque
não são raízes; as raízes da característica são
e
, reais.)
- Calcular derivadas:
- Substituir na equação
:
- Simplificar o lado esquerdo agrupando termos de
e :
Calcule os coeficientes:
coeficiente de:
coeficiente de
:
Então a igualdade fica
- Igualando coeficientes (sistema):
- Resolver o sistema. Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Logo
.
- Portanto
Passo 6
Montar a solução particular total e a solução geral.
- Soma das particulares:
- A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se tivessem sido fornecidas).