Em cada item, encontre a transformação linear T.
T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), onde \alpha=\beta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}) de modo que sua matriz em relação à base \alpha=\beta seja a matriz identidade de ordem 3. O conteúdo é transformação linear e representação matricial: sabemos que as colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} são as coordenadas de T aplicadas aos vetores da base.

Passo 2

Sejam os vetores da base \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}. Como
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
a coluna j diz que T(v_{j})=v_{j} para j=1,2,3.

Passo 3

Escolhendo a base canônica \beta=\{1,x,x^{2}\}, temos
T(1)=1,\quad T(x)=x,\quad T(x^{2})=x^{2}.
Por linearidade, para um polinômio genérico p(x)=a+bx+cx^{2},
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr) =a\,T(1)+b\,T(x)+c\,T(x^{2}) =a+bx+cx^{2}.

Resposta

A transformação T é a transformação identidade em P_{2}(\mathbb{R}), ou seja,
T\bigl(p(x)\bigr)=p(x)\quad\forall\,p(x)\in P_{2}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados