Questão 1 - Obter a expressão geral da transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{2} definida de modo que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,-1). Depois de obter a forma geral, podemos obter o vetor v \in R 3, tal que T(v)=(1,2).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 cujas imagens dos vetores da base canônica são
T(1,0,0)=(1,0),\quad T(0,1,0)=(1,1),\quad T(0,0,1)=(1,-1).
Precisamos usar linearidade para escrever T(x,y,z) de modo geral e em seguida resolver T(v)=(1,2).

Passo 2

Pela linearidade temos
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Substituindo as imagens conhecidas:
T(x,y,z)=x(1,0)+y(1,1)+z(1,-1)=(\,x+y+z,\;y-z\,).

Passo 3

Para achar v=(x,y,z)\) tal que \(T(x,y,z)=(1,2)\) montamos o sistema \[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ y-z=2. \end{cases}
Da segunda equação segue (z=y-2]. Substituindo na primeira:
x+y+(y-2)=1\implies x+2y=3\implies x=3-2y.
Logo a solução geral é
v=(3-2y,\;y,\;y-2),\quad y\in\mathbb{R}.

Resposta

A forma geral de T é
T(x,y,z)=(x+y+z,\;y-z).
Os vetores que atendem T(v)=(1,2) são
v=(3-2t,\;t,\;t-2),\quad t\in\mathbb{R},
por exemplo, para t=0 obtemos v=(3,0,-2).

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