Verifique, em cada item a seguir, se a transformação linear
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de
.
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um isomorfismo de espaços vetoriais. O conteúdo usado será teoria de transformações lineares em espaços de mesma dimensão finita, teste de núcleo e construção da inversa.
Passo 2
Mostramos que
é linear e injetora (logo bijetora, pois
).
- Linearidade: para quaisquer polinômios
e
e escalar, temos
que coincide com
- Núcleo: se
então , logo . Assim , então é injetora. Pelo Teorema do Núcleo-Imagem e igualdade de dimensões, é também sobrejetora e, portanto, um isomorfismo.
Passo 3
Para encontrar
, receba um vetor
. Queremos o polinômio
tal que
Logo
,
,
, e