Verifique, em cada item a seguir, se a transformação linear T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de T.
T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T\left(x t^{2}+y t+z\right)=(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
T: P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{3}, \qquad T\bigl(x t^{2}+y t+z\bigr) = (x,y,z)
é um isomorfismo de espaços vetoriais. O conteúdo usado será teoria de transformações lineares em espaços de mesma dimensão finita, teste de núcleo e construção da inversa.

Passo 2

Mostramos que T é linear e injetora (logo bijetora, pois \dim P_{2}(\mathbb{R})=3=\dim\mathbb{R}^{3}).
  1. Linearidade: para quaisquer polinômios \;p(t)=x_{1}t^{2}+y_{1}t+z_{1} e \;q(t)=x_{2}t^{2}+y_{2}t+z_{2}
    e escalar \alpha, temos
T\bigl(p+\alpha q\bigr) = T\bigl((x_{1}+\alpha x_{2})t^{2}+(y_{1}+\alpha y_{2})t+(z_{1}+\alpha z_{2})\bigr) = (x_{1}+\alpha x_{2},\,y_{1}+\alpha y_{2},\,z_{1}+\alpha z_{2})
que coincide com
(x_{1},y_{1},z_{1})+\alpha\,(x_{2},y_{2},z_{2}) = T(p)+\alpha\,T(q).
  1. Núcleo: se T(p)=0 então (x,y,z)=(0,0,0), logo p(t)=0. Assim \ker T=\{0\}, então T é injetora. Pelo Teorema do Núcleo-Imagem e igualdade de dimensões, T é também sobrejetora e, portanto, um isomorfismo.

Passo 3

Para encontrar T^{-1}, receba um vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}. Queremos o polinômio p(t)=x t^{2}+y t+z tal que
T\bigl(p(t)\bigr)=(x,y,z)=(a,b,c).
Logo x=a, y=b, z=c, e
T^{-1}(a,b,c)=a\,t^{2}+b\,t+c.

Resposta

T é um isomorfismo e
T^{-1}\colon \mathbb{R}^{3}\to P_{2}(\mathbb{R}), \qquad T^{-1}(a,b,c)=a\,t^{2}+b\,t+c.

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