Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos a equação
e precisamos encontrar um valor para
que faça essa equação ter exatamente uma solução. Isso envolve entender como as duas funções
e
se comportam e quando elas se encontram apenas em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas duas funções separadamente:
-
é uma função exponencial onde é a base. -
é uma função linear, uma reta que passa pela origem.
Queremos que essas duas funções se cruzem em exatamente um ponto. Isso acontece quando elas são tangentes, ou seja, quando elas não apenas se encontram, mas também têm a mesma inclinação naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar quando elas são tangentes, precisamos que:
-
(as funções se encontram) - A derivada de
seja igual à derivada de nesse ponto.
Vamos calcular as derivadas:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Passo 4
Igualamos as funções e suas derivadas:
Agora, podemos dividir a segunda equação pela primeira para simplificar:
Então,
.
Passo 5
Substituímos
na primeira equação:
Sabemos que
(porque ).
Então:
Resolvendo para
:
Agora, elevamos
do outro lado:
Resposta
O valor de
que faz a equação
ter exatamente uma solução é
.