Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
(d) a^x = ln(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a equação e queremos encontrar os valores de que fazem essa equação ter exatamente uma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e logarítmicas, além de entender como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Vamos analisar as funções envolvidas:
  • Função Exponencial : Dependendo de , essa função pode crescer ou decrescer. Se , ela cresce à medida que aumenta. Se , ela decresce.
  • Função Logarítmica : Aqui, é apenas um número constante. Mas, para que o logaritmo seja definido, precisamos que .

Passo 3

Vamos considerar os dois casos possíveis para :
  1. Quando :
    • é positivo porque o logaritmo natural de um número maior que 1 é positivo.
    • A função é crescente, indo de 0 a conforme aumenta.
    • Graficamente, a curva da função exponencial vai começar abaixo de e cruzarará exatamente uma vez, garantindo uma única solução.
  2. Quando :
    • é negativo porque o logaritmo natural de um número entre 0 e 1 é negativo.
    • A função é decrescente, indo de a 0 conforme aumenta.
    • Neste caso, a função exponencial nunca alcança um número negativo porque é sempre positivo. Portanto, não há solução.

Passo 4

Além disso, se :
  • A função exponencial para qualquer .
  • .
  • A equação fica , que nunca é verdadeira. Assim, também não há solução.

Passo 5

Resumindo tudo:
  • Para : A equação tem exatamente uma solução.
  • Para : A equação não tem solução.

Resposta

O valor de deve ser maior que 1, ou seja, .

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