Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a equação
e queremos encontrar os valores de
que fazem essa equação ter exatamente uma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e logarítmicas, além de entender como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Vamos analisar as funções envolvidas:
-
Função Exponencial
: Dependendo de , essa função pode crescer ou decrescer. Se , ela cresce à medida que aumenta. Se , ela decresce. -
Função Logarítmica
: Aqui, é apenas um número constante. Mas, para que o logaritmo seja definido, precisamos que .
Passo 3
Vamos considerar os dois casos possíveis para
:
-
Quando
: -
é positivo porque o logaritmo natural de um número maior que 1 é positivo. - A função
é crescente, indo de 0 a conforme aumenta. - Graficamente, a curva da função exponencial vai começar abaixo de
e cruzarará exatamente uma vez, garantindo uma única solução.
-
-
Quando
: -
é negativo porque o logaritmo natural de um número entre 0 e 1 é negativo. - A função
é decrescente, indo de a 0 conforme aumenta. - Neste caso, a função exponencial nunca alcança um número negativo porque
é sempre positivo. Portanto, não há solução.
-
Passo 4
Além disso, se
:
- A função exponencial
para qualquer . - Já
. - A equação fica
, que nunca é verdadeira. Assim, também não há solução.
Passo 5
Resumindo tudo:
- Para
: A equação tem exatamente uma solução. - Para
: A equação não tem solução.
Resposta
O valor de
deve ser maior que 1, ou seja,
.