Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
© a^x = log_a(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um valor para de forma que a equação tenha exatamente uma solução. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e encontrar o ponto onde elas se encontram apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as funções envolvidas:
  • Função Exponencial: , onde e , cresce rapidamente conforme aumenta.
  • Função Logarítmica: , que é o inverso da função exponencial, restrita para .
Para facilitar nossa análise, vamos reescrever a função logarítmica usando logaritmos naturais (base ):
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor de para o qual essas duas funções se cruzam exatamente uma vez. Isso significa que devemos encontrar o ponto onde as duas funções têm o mesmo valor e a mesma inclinação naquele ponto (ou seja, suas derivadas também são iguais).
Vamos considerar e . Para que haja exatamente uma interseção, precisamos que:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das duas funções:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Primeiro, lembrando que , então:

Passo 5

Agora, igualamos as derivas para encontrar o ponto onde as inclinações são iguais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Temos agora duas equações que devemos resolver simultaneamente:
Vamos combinar essas duas equações para eliminar . Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Então:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar que satisfaça essa equação. Vamos considerar que , onde é a base dos logaritmos naturais (~2,71828). Substituindo:
Sabemos que , então:

Passo 8

Para encontrar , basta resolver a equação acima:
Elevando a ambos os lados para eliminar o logaritmo:

Resposta

O valor de que faz com que a equação tenha exatamente uma solução é:

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