Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um valor para
de forma que a equação
tenha exatamente uma solução. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e encontrar o ponto onde elas se encontram apenas uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as funções envolvidas:
- Função Exponencial:
, onde e , cresce rapidamente conforme aumenta. - Função Logarítmica:
, que é o inverso da função exponencial, restrita para .
Para facilitar nossa análise, vamos reescrever a função logarítmica usando logaritmos naturais (base
):
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de
para o qual essas duas funções se cruzam exatamente uma vez. Isso significa que devemos encontrar o ponto onde as duas funções têm o mesmo valor e a mesma inclinação naquele ponto (ou seja, suas derivadas também são iguais).
Vamos considerar
e
. Para que haja exatamente uma interseção, precisamos que:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das duas funções:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Primeiro, lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, igualamos as derivas para encontrar o ponto onde as inclinações são iguais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Temos agora duas equações que devemos resolver simultaneamente:
Vamos combinar essas duas equações para eliminar
. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
que satisfaça essa equação. Vamos considerar que
, onde
é a base dos logaritmos naturais (~2,71828). Substituindo:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Para encontrar
, basta resolver a equação acima:
Elevando
a ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Resposta
O valor de
que faz com que a equação
tenha exatamente uma solução é: