Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um valor de
para que a equação
tenha exatamente uma solução. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e lineares, e precisamos encontrar o ponto onde elas se encontram apenas uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Temos duas funções:
-
— uma função exponencial. -
— uma função linear.
Queremos encontrar o valor de
onde essas duas funções se cruzam exatamente uma vez.
Passo 3
Para que as duas funções se intersectem em apenas um ponto, elas devem se tocar, ou seja, as curvas devem ser tangentes em algum ponto. Isso significa que não só os valores das funções são iguais nesse ponto, mas também suas derivadas são iguais.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de cada função:
-
Derivada de
: Aqui, usamos a regra da derivada para funções exponenciais, ondeé o logaritmo natural de . -
Derivada de
: A derivada de uma função linearé simplesmente .
Passo 5
Para que as funções sejam tangentes, devemos ter:
Essas duas equações devem ser verdadeiras simultaneamente.
Passo 6
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Simplificamos para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 7
Agora, isolamos
da equação
:
Aqui, usamos a definição de logaritmo natural para expressar
em termos de
.
Passo 8
Substituímos
na primeira equação
:
Simplificamos a expressão exponencial para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 9
Resolvemos para
:
Aqui, isolamos
dividindo ambos os lados por 3.
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta na equação
:
Calculamos
em termos de
.
Resposta
O valor de
que faz a equação
ter exatamente uma solução é: