Em cada item, encontre um valor de a para que a equação tenha exatamente uma solução.
(a) a^x = 3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um valor de para que a equação tenha exatamente uma solução. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e lineares, e precisamos encontrar o ponto onde elas se encontram apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Temos duas funções:
  1. — uma função exponencial.
  2. — uma função linear.
Queremos encontrar o valor de onde essas duas funções se cruzam exatamente uma vez.

Passo 3

Para que as duas funções se intersectem em apenas um ponto, elas devem se tocar, ou seja, as curvas devem ser tangentes em algum ponto. Isso significa que não só os valores das funções são iguais nesse ponto, mas também suas derivadas são iguais.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de cada função:
  • Derivada de :
    Aqui, usamos a regra da derivada para funções exponenciais, onde é o logaritmo natural de .
  • Derivada de :
    A derivada de uma função linear é simplesmente .

Passo 5

Para que as funções sejam tangentes, devemos ter:
Essas duas equações devem ser verdadeiras simultaneamente.

Passo 6

Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Simplificamos para encontrar uma relação entre e .

Passo 7

Agora, isolamos da equação :
Aqui, usamos a definição de logaritmo natural para expressar em termos de .

Passo 8

Substituímos na primeira equação :
Simplificamos a expressão exponencial para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 9

Resolvemos para :
Aqui, isolamos dividindo ambos os lados por 3.

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta na equação :
Calculamos em termos de .

Resposta

O valor de que faz a equação ter exatamente uma solução é:

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