Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
n) integral cos ^-1(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^-1(4x) , dx usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma ferramenta que usamos quando temos um produto de duas funções e queremos integrar isso. Para isso, precisamos escolher duas partes da nossa integral para serem e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral será u = cos^-1(4x) e qual será dv = dx . Uma boa regra é escolher como a função que se simplifica quando derivamos. Aqui, vamos escolher:
Então, o que sobra será :

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx cos^-1(4x) , dx = -4raiz1 - (4x)^2 , dx e v = integral dx = x . Para achar , precisamos derivar :
E para achar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral cos^-1(4x) , dx = x cdot cos^-1(4x) - integral x cdot ( -4raiz1 - 16x^2 ) , dx
Simplificando:
= x cdot cos^-1(4x) + 4 integral xraiz1 - 16x^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral t = 1 - 16x^2 Rightarrow dt = -32x , dx Rightarrow -dt32 = x , dx . Vamos fazer uma substituição:
4 integral xraizt cdot ( -dt32 ) = -432 integral t^-1/2 , dt = -18 cdot 2 t^1/2 + C = -14 raizt + C
Substituindo na integral:
= -14 raiz1 - 16x^2 + C
Voltando para :

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral cos^-1(4x) , dx = x cdot cos^-1(4x) - 14 raiz1 - 16x^2 + C
onde é a constante de integração.

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