Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
u) integral0^2 x e^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^2 x e^2x , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que vão se adequar à fórmula de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
onde escolhemos u e dv de forma que a integral resultante seja mais simples.

Passo 3

Vamos identificar u e dv na nossa integral:
  • Escolhemos u = x, porque ao derivar, simplifica.
  • Então, dv = e^2x , dx.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u = x, temos du = dx.
  • Integrando dv = e^2x , dx, temos v = 12 e^2x.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^2x , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x , dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
12 x e^2x - 12 integral e^2x , dx
A integral restante integral e^2x , dx é simples de resolver.

Passo 7

Integrando integral e^2x , dx:
integral e^2x , dx = 12 e^2x

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
12 x e^2x - 12 cdot 12 e^2x = 12 x e^2x - 14 e^2x

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ 12 cdot 2 cdot e^4 - 14 e^4 ] - [ 12 cdot 0 cdot e^0 - 14 e^0 ]
Simplificando:
( e^4 - 14 e^4 ) - ( 0 - 14 ) = 34 e^4 + 14

Resposta

Portanto, o valor da integral é 34 e^4 + 14.

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