Derive e determine o domínio de f em cada um dos itens abaixo:
(d) f(x) = ln(x^3 - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função e determinar o seu domínio. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções compostas e logaritmos. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender as condições para o domínio de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é utilizada quando temos uma função composta. A derivada de em relação a é , onde é uma função de .
No nosso caso, . Vamos derivar em relação a :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função logarítmica exige que o argumento seja positivo, ou seja, .
Aqui, , então precisamos resolver a inequação:
Vamos fatorar:
Agora, vamos encontrar os intervalos onde o produto é positivo. Os pontos críticos são , e . Analisando os intervalos:
  1. : todos os fatores negativos, produto negativo.
  2. : dois fatores negativos e um positivo, produto positivo.
  3. : um fator negativo e dois positivos, produto negativo.
  4. : todos os fatores positivos, produto positivo.
Portanto, a solução da inequação é:

Resposta

A derivada de é e o domínio de é .

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