Derive e determine o domínio de
em cada um dos itens abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função
e determinar o seu domínio. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções compostas e logaritmos. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender as condições para o domínio de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é utilizada quando temos uma função composta. A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
.
No nosso caso,
. Vamos derivar
em relação a
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função logarítmica
exige que o argumento
seja positivo, ou seja,
.
Aqui,
, então precisamos resolver a inequação:
Vamos fatorar:
Agora, vamos encontrar os intervalos onde o produto é positivo. Os pontos críticos são
,
e
. Analisando os intervalos:
-
: todos os fatores negativos, produto negativo. -
: dois fatores negativos e um positivo, produto positivo. -
: um fator negativo e dois positivos, produto negativo. -
: todos os fatores positivos, produto positivo.
Portanto, a solução da inequação é:
Resposta
A derivada de
é
e o domínio de
é
.