Em cada item, encontre um vetor diretor e um ponto que pertence à reta dada.
(d) x - 3 = -y ; z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor diretor e um ponto que pertença à reta dada pela equação e . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a representação de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar essas equações e extrair o vetor diretor e um ponto na reta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações da reta de uma forma que facilite a identificação do vetor diretor e do ponto. As equações dadas são:
Podemos reorganizar a primeira equação para expressar em termos de :
Agora, temos:
Essas equações representam uma reta no espaço onde é sempre igual a 1 e depende linearmente de .

Passo 3

Vamos escolher um parâmetro para , digamos , para expressar as coordenadas da reta de forma paramétrica. Assim, podemos definir:
Substituindo na equação de :
E sabemos que sempre.
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 4

Agora, podemos identificar o vetor diretor da reta observando os coeficientes de nas equações paramétricas. O vetor diretor é formado pelos coeficientes de nas três equações:
Isso significa que a reta se move 1 unidade na direção de , -1 unidade na direção de e 0 unidades na direção de para cada incremento de .

Passo 5

Para encontrar um ponto que pertence à reta, basta escolher um valor específico para e calcular as coordenadas correspondentes. Vamos escolher para simplificar:
Portanto, o ponto na reta é:

Resposta

O vetor diretor da reta é e um ponto que pertence à reta é .

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