Em cada item, encontre um vetor diretor e um ponto que pertence à reta dada.
(f) {x=2y-3, z=1-y}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar um vetor diretor e um ponto que pertence à reta definida pelo sistema de equações:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para achar o vetor diretor e um ponto na reta, vamos transformar essas equações em uma forma que a gente consiga identificar facilmente esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma variável para ser o nosso parâmetro. Normalmente, escolhemos uma das variáveis livres, e nesse caso, vamos escolher como nosso parâmetro. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.

Passo 3

Com , substituímos esse valor nas outras equações para encontrar e em termos de :
Então, podemos escrever as equações paramétricas da reta assim:

Passo 4

Agora, para identificar o vetor diretor, observamos os coeficientes de nas equações paramétricas. Eles formam o vetor:
Esse é o vetor que aponta na direção da reta.
Para encontrar um ponto que pertence à reta, podemos escolher um valor qualquer para . O mais simples é usar :
Então, o ponto é .

Resposta

O vetor diretor é e um ponto na reta é .

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