Encontre a derivada das funções compostas, aplicando a regra da cadeia.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função composta
usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra do quociente, a regra da potência e, claro, a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa função
é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente: se
, então
.
Passo 3
Vamos identificar
e
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Para encontrar
, aplicamos a regra da cadeia na função
. A derivada de
é
. Aqui,
, então
. Assim,
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, aplicamos a regra da cadeia na função
. Usando novamente a regra da potência, temos
, pois a derivada de
é
.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo
,
,
e
na fórmula:
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão fatorando os termos comuns. Observamos que
e
são fatores comuns nos termos do numerador:
Passo 8
Simplificamos a expressão dividindo
por
, resultando em
. Portanto:
Passo 9
Agora, simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Primeiro, expandimos os termos:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Portanto, a derivada da função
é: