Encontre a derivada das funções compostas, aplicando a regra da cadeia. G(y) = ((y - 1)^3) / ((y^2 + 2 * y)^5)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função composta usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra do quociente, a regra da potência e, claro, a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma fração onde o numerador é e o denominador é . Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente: se , então .

Passo 3

Vamos identificar e . Precisamos encontrar e .

Passo 4

Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia na função . A derivada de é . Aqui, , então . Assim, .

Passo 5

Agora, para encontrar , aplicamos a regra da cadeia na função . Usando novamente a regra da potência, temos , pois a derivada de é .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo , , e na fórmula:

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão fatorando os termos comuns. Observamos que e são fatores comuns nos termos do numerador:

Passo 8

Simplificamos a expressão dividindo por , resultando em . Portanto:

Passo 9

Agora, simplificamos a expressão dentro dos colchetes:
Primeiro, expandimos os termos:
Simplificando:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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