Em cada item, encontre o vetor v \in V, com as informações dadas:
v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3\end{array}\right] onde \alpha=\{(1,-1),(3,1)\} em V=\mathbb{R}^{2} ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O espaço vetorial é V=\mathbb{R}^{2}.
  • A base \alpha é \alpha=\{(1,-1),(3,1)\}. Vou chamar os vetores da base de u_{1}=(1,-1),\qquad u_{2}=(3,1).
  • As coordenadas de v na base \alpha são [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix},ou seja, os coeficientes relativos à base são 2 e 3.
O que o problema pede: encontrar o vetor v escrito nas coordenadas usuais de \mathbb{R}^{2} (vetor coluna ou par ordenado).]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): se \alpha=\{u_{1},u_{2}\} é uma base e
[v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\end{pmatrix},
isso significa, por definição de coordenadas em uma base, que
v=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}.
Aqui:
  • c_{1} e c_{2} são números reais (as coordenadas de v na base \alpha);
  • u_{1} e u_{2} são os vetores da base expressos nas coordenadas padrão de \mathbb{R}^{2};
  • A operação c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2} é a combinação linear componente a componente.
Isso é tudo que precisamos para reconstruir v a partir de [v]_{\alpha}.]

Passo 3

Aplicando a definição com os dados do enunciado:
c_{1}=2,\qquad c_{2}=3,\qquad u_{1}=(1,-1),\qquad u_{2}=(3,1).
Então
v=2u_{1}+3u_{2}=2(1,-1)+3(3,1).
Agora calculamos componente a componente.
Primeira componente:
2\cdot 1 + 3\cdot 3 = 2 + 9 = 11.
Segunda componente:
2\cdot(-1) + 3\cdot 1 = -2 + 3 = 1.
Portanto
v=(11,1).
Em forma de vetor coluna:
v=\begin{pmatrix}11\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Método alternativo (matricial), só para reforçar a ideia: formar a matriz cujas colunas são os vetores da base,
P=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Então
v = P\,[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2+3\cdot3\\[6pt]-1\cdot2+1\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11\\[4pt]1\end{pmatrix},
o mesmo resultado (só reorganizamos a mesma combinação linear em forma de multiplicação de matrizes).]

Passo 5

Cheque rápido e comentário de incentivo: podemos ver que v realmente é uma combinação dos vetores da base com coeficientes 2 e 3. Se ficar nervoso na prova, lembre: coordenadas dizem exatamente “quantas cópias” de cada vetor da base somar para formar v. Você já fez isso direitinho aqui — mandou bem!

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}11\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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