Calcule as coordenadas do vetor dado na base indicada: (3,7,8)]_{\beta} para \beta=\{(1,-3,0),(0,2,1)\} base do (sub)espaço vetorial W=\{(x, y, z): 3 x+y-2 z=0\} do \mathbb{R}^{3} (usual);
Passo 1
O enunciado pede: calcular as coordenadas do vetor (3,7,8) na base \beta=\{(1,-3,0),(0,2,1)\} do subespaço W=\{(x,y,z):3x+y-2z=0\} de \mathbb{R}^3.
Informações fornecidas:
Vetor a ser expresso: (3,7,8).
Base \beta com dois vetores: (1,-3,0) e (0,2,1).
Subespaço W definido por \;3x+y-2z=0.
Passo 2
O que significa "coordenadas do vetor na base \beta"?
Significa encontrar escalares a e b tais que o vetor dado seja uma combinação linear dos vetores da base, isto é:
a\,(1,-3,0)+b\,(0,2,1)=(3,7,8).
Se conseguirmos a e b que satisfaçam essa igualdade, então as coordenadas de (3,7,8) na base \beta são (a,b). Aqui cada símbolo significa:
a,b: números reais (coordenadas na base).
Os pares/trios entre parênteses são vetores em \mathbb{R}^3.
Passo 3
Vou escrever a combinação linear componente a componente. Multiplicando e somando os vetores obtemos:
a\,(1,-3,0)+b\,(0,2,1)=(a,\,-3a+2b,\,b).
Queremos que isso seja igual a (3,7,8). Portanto temos o sistema de equações obtido igualando cada componente correspondente:
Resolver o sistema é direto porque as equações das primeira e terceira componentes já dão a e b imediatamente:
a=3,\qquad b=8.
Passo 5
Verificação (sempre bom checar na hora da prova): substituir a=3 e b=8 na segunda equação:
-3a+2b=-3\cdot 3 + 2\cdot 8 = -9 + 16 = 7,
que coincide com o valor exigido. Logo a combinação linear está correta e o vetor realmente é gerado por esses coeficientes.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido: aqui foi simples porque os vetores da base têm coordenadas que tornam a primeira e terceira componentes decoupled (uma depende só de a, outra só de b). Em geral monta-se o mesmo sistema e resolve-se (por substituição, escalonamento, ou usando matrizes). Sempre verifique que o vetor dado pertence ao subespaço W (a substituição em \;3x+y-2z deu 0 aqui) — se não pertencer, não existe representação em \beta.