Em cada item, esboce o gráfico das funções dadas, ache os limites laterais no valor de a indicado e, caso o limite exista, determine o limite da função nesse ponto.
f(x)=\left\{\begin{array}{c}2-x \text {, se } x>1 \\\ x^{2}, \text { se } x \leq 1\end{array}, \quad a=1\right.

Passo 1

O enunciado define a função por
f(x)= \begin{cases} 2 - x, & \text{se }x>1,\\\ x^2, & \text{se }x\le1, \end{cases}
e pede que esbossemos o gráfico, calculemos os limites laterais em a=1 e, se possível, o limite \lim_{x\to1}f(x).

Passo 2

Para esboçar o gráfico, analisamos cada ramo:
– Para x\le1, temos a parábola y=x^2. Em particular f(1)=1^2=1, ponto sólido em (1,1).
– Para x>1, temos a reta y=2-x. Em x=1 ela vale 2-1=1, mas como o ramo é para x>1, esse ponto fica com círculo aberto em (1,1).
No gráfico, a parábola cresce até (1,1) e a reta desce a partir de (1,1) (aberto), passando por (2,0).

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda usando f(x)=x^2:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}x^2 =1^2 =1.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita usando f(x)=2-x:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(2-x) =2-1 =1.

Passo 5

Como \lim_{x\to1^-}f(x)=1 e \lim_{x\to1^+}f(x)=1, os limites laterais coincidem e
\lim_{x\to1}f(x)=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=1,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=1,\quad \lim_{x\to1}f(x)=1.

Exercícios relacionados