Calcule cada um dos limites a seguir. Caso o limite exista, indique as propriedades utilizadas na resolução.
\lim _{t \rightarrow 1 / 2} \frac{t^{2}+1}{1+\sqrt{2 t+8}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{t\to \tfrac12} \frac{t^{2}+1}{1+\sqrt{2t+8}}.
O conteúdo aqui é limites de funções contínuas, e vamos usar as propriedades de soma, raiz e quociente de limites.

Passo 2

Verificamos o domínio da função: dentro da raiz temos 2t+8\ge0, o que vale para t=\tfrac12. Como polinômios e a função \sqrt{\;\cdot\;} são contínuos nesse ponto, podemos aplicar limite diretamente por continuidade.

Passo 3

Pela continuidade da soma e do polinômio,
\lim_{t\to\tfrac12}(t^2+1) =\lim_{t\to\tfrac12}t^2+\lim_{t\to\tfrac12}1 =\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2+1 =\tfrac14+1 =\tfrac54.

Passo 4

Pela continuidade da raiz e da soma,
\lim_{t\to\tfrac12}\sqrt{2t+8} =\sqrt{2\cdot\tfrac12+8} =\sqrt{9} =3,
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\lim_{t\to\tfrac12}\bigl(1+\sqrt{2t+8}\bigr) =1+3 =4.

Passo 5

Como o limite do denominador é diferente de zero, usamos a propriedade do quociente:
\lim_{t\to\tfrac12}\frac{t^{2}+1}{1+\sqrt{2t+8}} =\frac{\displaystyle \lim_{t\to\tfrac12}(t^2+1)}{\displaystyle \lim_{t\to\tfrac12}(1+\sqrt{2t+8})} =\frac{\tfrac54}{4} =\tfrac{5}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{16}

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